(THPT DTNT - Nghệ An 2025) Gọi $ F\left ( { x } \right ) $ là một nguyên hàm của hàm số $ f\left ( { x } \right )=2 ^ { x } $, thỏa mãn $ F\left ( { 0 } \right )=\frac { 1 } { \ln2 } $. Giá trị biểu thức $ T=F\left ( { 0 } \right )+F\left ( { 1 } \right )+...+F\left ( { 2018 } \right )+F\left ( { 2019 } \right ) $ có dạng $ T=\frac { 2 ^ { m } -1 } { lnn } $ (với $ m,n\in N $). Tính giá trị $ 2m-3n $?

Ta có $ \int f\left ( { x } \right )dx=\int 2 ^ { x } dx=\frac { 2 ^ { x } } { \ln2 }+C $. $ F\left ( { x } \right ) $ là một nguyên hàm của hàm số $ f\left ( { x } \right )=2 ^ { x } $, ta có $ F\left ( { x } \right )=\frac { 2 ^ { x } } { \ln2 }+C $ mà $ F\left ( { 0 } \right )=\frac { 1 } { \ln2 } $. $ ⇒C=0⇒F\left ( { x } \right )=\frac { 2 ^ { x } } { \ln2 } $. $ T=F\left ( { 0 } \right )+F\left ( { 1 } \right )+...+F\left ( { 2018 } \right )+F\left ( { 2019 } \right ) $ $ =\frac { 1 } { \ln2 }\left ( { 1+2+2 ^ { 2 } +...+2 ^ { 2018 } +2 ^ { 2019 } } \right ) =\frac { 1 } { \ln2 }.\frac { 2 ^ { 2020 } -1 } { 2-1 } =\frac { 2 ^ { 2020 } -1 } { \ln2 } $. Vậy $ T=\frac { 2 ^ { 2020 } -1 } { \ln2 } $ nên $ 2.2020-3.2=4034 $.