Cho hàm số $ f(x) $ có đạo hàm trên $ \mathbb{R} $. Điểm $ M(x;f(x)) $ thay đổi nhưng luôn thuộc đồ thị của hàm số $ f(x) $ và tiếp tuyến với đồ thị hàm số $ f(x) $ tại điểm $ M $ có hệ số góc $ k=3x ^ { 2 } -6x(∀x\in \mathbb{R}) $. Biết $ f(1)=2 $ và $ F(x) $ là họ nguyên hàm của hàm số $ f(x) $. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Question

Beedemy · Accepted Answer

a. Hàm số $ G(x)=3x ^ { 2 } -6x $ là một nguyên hàm của hàm số $ f(x) $. Sai. b. Hàm số $ f(x)=x ^ { 3 } -3x ^ { 2 } +4 $. Đúng. c. $ F(x)=\frac { x ^ { 4 } } { 4 }-x ^ { 3 } +4x+C $. Đúng. d. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $ f(x) $ tại điểm $ M_{ 0 } (1;2) $ có phương trình $ y=-3x+5 $. Đúng. Lời giải: a) Sai. Vì tiếp tuyến với đồ thị hàm số $ f(x) $ tại điểm $ M $ có hệ số góc $ k=3x ^ { 2 } -6x⇒f ^ { ′ } (x)=3x ^ { 2 } -6x. $ Do đó $ G(x)=3x ^ { 2 } -6x $ là đạo hàm của hàm số $ f(x) $ b) Đúng. Ta có $ \int f ^ { ′ } \left ( { x } \right )dx=\int \left ( { 3x ^ { 2 } -6x } \right )dx⇔f\left ( { x } \right )=x ^ { 3 } -3x ^ { 2 } +C $. Lại có $ f(1)=2⇒1-3+C=2⇔C=4⇒f(x)=x ^ { 3 } -3x ^ { 2 } +4 $ c) Đúng. Ta có $ f(1)=2⇒f(x)=x ^ { 3 } -3x+4 $ Vì $ F(x) $ là họ nguyên hàm của hàm số $ f(x) $ nên $ F(x)=\frac { x ^ { 4 } } { 4 }-x ^ { 3 } +4x+C $ d) Đúng. $ M_{ 0 } (1;2) $ thuộc đồ thị hàm số $ f(x)⇒f(1)=2⇒f(x)=x ^ { 3 } -3x ^ { 2 } +4 $ Lại có $ f ^ { ′ } (x)=3x ^ { 2 } -6x⇒f ^ { ′ } (1)=-3 $ Nên phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số $ f(x) $ tại điểm $ M $ là $ y=-3(x-1)+2⇔y=-3x+5. $

Cùng dạng: Tìm nguyên hàm F(x) thỏa mãn điều kiện biên F(x₀) = y₀