(Sở Thanh Hóa 2025) Một gia đình sản xuất chiếu cói ở Nga Sơn mỗi ngày sản xuất được $ x $ chiếc chiếu $ \left ( { 0\leq x\leq 20 } \right ) $ Chi phí biên để sản xuất $ x $ chiếc chiếu ( tính bằng nghìn đồng) cho bởi hàm số sau:$ C'\left ( { x } \right )=3x ^ { 2 } -4x+10 $. Biết rằng chi phí cố định ban đầu để sản xuất là $ 500 $ nghìn đồng. Giả sử gia đình này bán hết chiếu mỗi ngày với giá $ 270 $ nghìn đồng / chiếc chiếu. Tính lợi nhuận tối đa theo đơn vị nghìn đồng mà gia đình đó thu được?

Chi phí để sản xuất $ x $ chiếc chiếu ( tính bằng nghìn đồng) là hàm số: $ C\left ( { x } \right )=\int C'\left ( { x } \right )dx=\int \left ( { 3x ^ { 2 } -4x+10 } \right )dx=x ^ { 3 } -2x ^ { 2 } +10x+c $. Do chi phí cố định ban đầu để sản xuất là $ 500 $ nghìn đồng nên $ c=500 $ Từ đó ta có lợi nhuận theo đơn vị nghìn đồng mà mỗi ngày gia đình đó thu được là: $ L\left ( { x } \right )=270x-\left ( { x ^ { 3 } -2x ^ { 2 } +10x+500 } \right )=-x ^ { 3 } +2x ^ { 2 } +260x-500 $ $ L'\left ( { x } \right )=-3x ^ { 2 } +4x+260=0⇔\left[ \begin{array}{l} x=10 \\ x=-\frac { 26 } { 3 } \end{array} \right. $. Mà $ 0\leq x\leq 20 $ nên $ x=10 $. Lợi nhuận tối đa mà gia đình đó thu được là: $ L\left ( { 10 } \right )=1300 $ ( nghìn đồng)