Bài tập nâng cao · Bài 29
Bài tập nâng cao Nhị thức Newton · Bài 29
Tổng tất cả các hệ số trong khai triển $ \left ( { 3x-1 } \right ) ^ { 2020 } $bằng kết quả nào sau đây?
Xem lời giải
Lời giải
Xét khai triển $ \left ( { 3x-1 } \right ) ^ { 2020 } =C_{ 2020 } ^{ 0 }.\left ( { 3x } \right ) ^ { 2020 } +C_{ 2020 } ^{ 1 }.\left ( { 3x } \right ) ^ { 2020-1 } .\left ( { -1 } \right ) ^ { 1 } +\ldots +C_{ 2020 } ^{ 2020 }.\left ( { -1 } \right ) ^ { 2020 } $
$ =3 ^ { 2020 } .C_{ 2020 } ^{ 0 }.x ^ { 2020 } +3 ^ { 2019 } .\left ( { -1 } \right ) ^ { 1 } .C_{ 2020 } ^{ 1 }.x ^ { 2019 } +\ldots +\left ( { -1 } \right ) ^ { 2020 } .C_{ 2020 } ^{ 2020 } $
Với $ x=1 $, ta có: $ \left ( { 3-1 } \right ) ^ { 2020 } =3 ^ { 2020 } .C_{ 2020 } ^{ 0 }+3 ^ { 2019 } .\left ( { -1 } \right ) ^ { 1 } .C_{ 2020 } ^{ 1 }+\ldots +\left ( { -1 } \right ) ^ { 2020 } .C_{ 2020 } ^{ 2020 }=2 ^ { 2020 } $.
Vậy tổng tất cả các hệ số trong khai triển $ \left ( { 3x-1 } \right ) ^ { 2020 } $bằng $ 2 ^ { 2020 } $.
$ =3 ^ { 2020 } .C_{ 2020 } ^{ 0 }.x ^ { 2020 } +3 ^ { 2019 } .\left ( { -1 } \right ) ^ { 1 } .C_{ 2020 } ^{ 1 }.x ^ { 2019 } +\ldots +\left ( { -1 } \right ) ^ { 2020 } .C_{ 2020 } ^{ 2020 } $
Với $ x=1 $, ta có: $ \left ( { 3-1 } \right ) ^ { 2020 } =3 ^ { 2020 } .C_{ 2020 } ^{ 0 }+3 ^ { 2019 } .\left ( { -1 } \right ) ^ { 1 } .C_{ 2020 } ^{ 1 }+\ldots +\left ( { -1 } \right ) ^ { 2020 } .C_{ 2020 } ^{ 2020 }=2 ^ { 2020 } $.
Vậy tổng tất cả các hệ số trong khai triển $ \left ( { 3x-1 } \right ) ^ { 2020 } $bằng $ 2 ^ { 2020 } $.