Bài tập nâng cao · Bài 30
Bài tập nâng cao Nhị thức Newton · Bài 30
Tính tổng $ S=\frac { 1 } { 2!.2017! }+\frac { 1 } { 4!.2015! }+\ldots +\frac { 1 } { 2018!.1! } $.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ 2019!.S=\frac { 2019! } { 2!.2017! }+\frac { 2019! } { 4!.2015! }+\ldots +\frac { 2019! } { 2018!.1! }=C_{ 2019 } ^{ 2 }+C_{ 2019 } ^{ 4 }+\ldots +C_{ 2019 } ^{ 2018 } $.
$ C_{ 2019 } ^{ 0 }+C_{ 2019 } ^{ 1 }+C_{ 2019 } ^{ 2 }+C_{ 2019 } ^{ 3 }+C_{ 2019 } ^{ 4 }+\ldots +C_{ 2019 } ^{ 2018 }+C_{ 2019 } ^{ 2019 }=2 ^ { 2019 } $ (1).
$ C_{ 2019 } ^{ 0 }-C_{ 2019 } ^{ 1 }+C_{ 2019 } ^{ 2 }-C_{ 2019 } ^{ 3 }+C_{ 2019 } ^{ 4 }-\ldots +C_{ 2019 } ^{ 2018 }-C_{ 2019 } ^{ 2019 }=0 $ (2).
Cộng 2 vế của (1) và (2) được $ C_{ 2019 } ^{ 0 }+C_{ 2019 } ^{ 2 }+C_{ 2019 } ^{ 4 }+\ldots +C_{ 2019 } ^{ 2018 }=2 ^ { 2018 } $
$ \Rightarrow C_{ 2019 } ^{ 2 }+C_{ 2019 } ^{ 4 }+\ldots +C_{ 2019 } ^{ 2018 }=2 ^ { 2018 } -1\Rightarrow S=\frac { 2 ^ { 2018 } -1 } { 2019! } $.
$ C_{ 2019 } ^{ 0 }+C_{ 2019 } ^{ 1 }+C_{ 2019 } ^{ 2 }+C_{ 2019 } ^{ 3 }+C_{ 2019 } ^{ 4 }+\ldots +C_{ 2019 } ^{ 2018 }+C_{ 2019 } ^{ 2019 }=2 ^ { 2019 } $ (1).
$ C_{ 2019 } ^{ 0 }-C_{ 2019 } ^{ 1 }+C_{ 2019 } ^{ 2 }-C_{ 2019 } ^{ 3 }+C_{ 2019 } ^{ 4 }-\ldots +C_{ 2019 } ^{ 2018 }-C_{ 2019 } ^{ 2019 }=0 $ (2).
Cộng 2 vế của (1) và (2) được $ C_{ 2019 } ^{ 0 }+C_{ 2019 } ^{ 2 }+C_{ 2019 } ^{ 4 }+\ldots +C_{ 2019 } ^{ 2018 }=2 ^ { 2018 } $
$ \Rightarrow C_{ 2019 } ^{ 2 }+C_{ 2019 } ^{ 4 }+\ldots +C_{ 2019 } ^{ 2018 }=2 ^ { 2018 } -1\Rightarrow S=\frac { 2 ^ { 2018 } -1 } { 2019! } $.