Một chất điểm chuyển động theo phương nằm ngang có phương trình $ s\left ( { t } \right )=t ^ { 3 } -\left ( { m+2 } \right )t ^ { 2 } +12t+2 $, trong đó $ t≥0 $, $ t $ tính bằng giây và $ s\left ( { t } \right ) $ tính bằng mét, $ m $ là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $ m≥0 $ để chất điểm luôn chuyển động theo chiều dương.

Vận tốc của chất điểm tại thời điểm $ t $ là $ v\left ( { t } \right )=s'\left ( { t } \right )=3t ^ { 2 } -2\left ( { m+2 } \right )t+12 $. Ta có $ v\left ( { t } \right )=3t ^ { 2 } -2\left ( { m+2 } \right )t+12=3\left ( { t-\frac { m+2 } { 3 } } \right ) ^ { 2 } +12-\frac { \left ( { m+2 } \right ) ^ { 2 } } { 3 }≥12-\frac { \left ( { m+2 } \right ) ^ { 2 } } { 3 } $ với mọi $ t $. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $ t=\frac { m+2 } { 3 } $. Vì $ m≥0 $ nên $ t=\frac { m+2 } { 3 }>0 $. Do đó $ \mathop { \min } \limits_{ \left [ { 0;+∞ } \right ) } v\left ( { t } \right )=12-\frac { \left ( { m+2 } \right ) ^ { 2 } } { 3 } $. Để chất điểm luôn chuyển động theo chiều dương thì $ v\left ( { t } \right )≥0 $ với mọi $ t≥0 $ $ ⇔\mathop { \min } \limits_{ \left [ { 0;+∞ } \right ) } v\left ( { t } \right )≥0⇔12-\frac { \left ( { m+2 } \right ) ^ { 2 } } { 3 }≥0⇔\left ( { m+2 } \right ) ^ { 2 } ≤36 ⇔-6≤m+2≤6⇔-8≤m≤4 $. Kết hợp với điều kiện $ m≥0 $, suy ra $ 0≤m≤4 $. Do $ m $ nguyên nên $ m∈\left\{0;1;2;3;4\right\} $, suy ra có $ 5 $ giá trị nguyên của $ m $ thỏa mãn.