Cho hai tập hợp $A = [m^2 + 2m; m^2 + 2m + 1]$ và $B = [2m - 1; 2m + 5)$. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để $A \subset B$?

Trước hết, nhận thấy cả hai tập hợp $A$ và $B$ đều đã tự đảm bảo tính đúng đắn của khoảng/đoạn vì: - Với tập $A$: $(m^2 + 2m + 1) - (m^2 + 2m) = 1 > 0$ (luôn đúng với mọi $m$). - Với tập $B$: $(2m + 5) - (2m - 1) = 6 > 0$ (luôn đúng với mọi $m$). Để tập hợp $A$ là con của tập hợp $B$ ($A \subset B$), điểm đầu của $A$ phải lớn hơn hoặc bằng điểm đầu của $B$, còn điểm cuối của $A$ phải nhỏ hơn hẳn điểm cuối của $B$ (vì tại điểm cuối của $B$ là ngoặc tròn, không chứa phần tử đó). Do đó, điều kiện tương đương là: $$\begin{cases} m^2 + 2m \ge 2m - 1 \\ m^2 + 2m + 1 < 2m + 5 \end{cases}$$ Giải hệ bất phương trình trên, ta được: 1. Bất phương trình thứ nhất: $m^2 + 1 \ge 0$ (luôn đúng với mọi số thực $m$). 2. Bất phương trình thứ hai: $m^2 < 4 \Leftrightarrow -2 < m < 2$. Giao hai điều kiện lại, ta có: $-2 < m < 2$. Vì đề bài yêu cầu tìm các số $m$ nguyên ($m \in \mathbb{Z}$), nên ta chọn các giá trị: $m \in \{-1; 0; 1\}$. Có tổng cộng 3 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn. Đáp số cần điền là $3$.