Hiệu suất của tim là lưu lượng máu được bơm bởi tim trên một đơn vị thời gian (lưu Iượng máu chảy vào động mạch chủ). Để đo hiệu suất của tim, người ta bơm $ A(mg) $ chất chỉ thị màu vào tâm nhĩ phải, chảy qua tim rồi vào động mạch chủ và đo nồng độ chất chỉ thị màu còn lại ở tim đến thời điểm $ T(s) $ khi chất chỉ thị mày tan sạch. Gọi $ c(t) $ là nồng độ ($ mg/l $) chất chỉ thị màu tại thời điểm $ t(s) $ thì hiệu suất của tim được xác định bởi $ F=\frac { A } { \int _{ 0 }^{ T } { c }(t)dt }(I/s) $. Biết $ c(t)=\frac { 1 } { 4 }t(12-t) $ với $ 0\leq t\leq 12 $. Tính hiệu suất của tim khi bơm 8 mg chất chỉ thị màu vào tâm nhĩ phải (làm tròn đến hàng phần trăm theo đơn vị $ l/s $).

Trả lời: 0,11 Từ đề bài ta có: - $ A=8mg $ (lượng chất chỉ thị màu được bơm vào). - $ c(t)=\frac { 1 } { 4 }t(12-t){ \rm{ ;} }0\leq t\leq 12{ \rm{ . } }{ \rm{ } } $ - $ T $ là thời điểm chất chỉ thị màu tan sạch. Điều này có nghĩa là $ c(T)=0 $. Từ $ c(t)=\frac { 1 } { 4 }t(12-t)=0 $, ta có $ t=0 $ hoặc $ t=12 $. Vì $ T $ là thời điểm chất chỉ thị màu tan sạch (sau khi bơm), nên $ T=12 $ giây. Vậy ta cần tính $ \int _{ 0 }^{ 12 } { \frac { 1 } { 4 } }t(12-t)dt $. $ \int _{ 0 }^{ 12 } { \frac { 1 } { 4 } }\left ( { 12t-t ^ { 2 } } \right )dt=\frac { 1 } { 4 }\int _{ 0 }^{ 12 } { \left ( { 12t-t ^ { 2 } } \right ) }dt \\ =\frac { 1 } { 4 }\left. { \left[ 12\frac { t ^ { 2 } } { 2 }-\frac { t ^ { 3 } } { 3 } \right] } \right|_{ 0 }^{ 12 }=\frac { 1 } { 4 }\left. { \left[ 6t ^ { 2 } -\frac { t ^ { 3 } } { 3 } \right] } \right|_{ 0 }^{ 12 }=\frac { 1 } { 4 }\left ( { \left ( { 6(12) ^ { 2 } -\frac { (12) ^ { 3 } } { 3 } } \right )-\left ( { 6(0) ^ { 2 } -\frac { (0) ^ { 3 } } { 3 } } \right ) } \right ) \\ =\frac { 1 } { 4 }\left ( { 6(144)-\frac { 1728 } { 3 }-0 } \right )=72 $ Tính hiệu suất của tim $ F $: $ \begin{array}{ll} F & =\frac { A } { \int _{ 0 }^{ T } { c }(t)dt }=\frac { 8 } { 72 } \\ F & =\frac { 1 } { 9 }(I/s)=0,11(I/s) \\ \end{array} $ Kết quả: Hiệu suất của tim là khoảng $ 0.111/s $