(Sở Ninh Bình 2025) Hai vận động viên $ A $và $ B $ tham dự một cuộc thi chạy bộ trên một đường thẳng, xuất phát cùng một thời điểm, cùng vạch xuất phát và chạy cùng chiều với vận tốc lần lượt là $ v_{ A } $ và $ v_{ B } $. Trong khoảng thời gian $ 32 $ giây chạy đầu tiên ta có $ v_{ A } =\frac { 1 } { 450 }t ^ { 3 } -\frac { 47 } { 450 }t ^ { 2 } +\frac { 64 } { 65 }t $ (m/s), $ v_{ B } =at ^ { 2 } +bt $ (m/s) (với $ t\geq 0 $ là thời gian tính bằng giây). Hàm số $ y=at ^ { 2 } +bt $ có đồ thị là một phần của parabol như hình vẽ

a) Đúng. Ta có $ v'_{ A } =\frac { 3 } { 450 }t ^ { 2 } -2\cdot \frac { 47 } { 450 }t+\frac { 64 } { 45 } $. $ v'_{ A } =0\Leftrightarrow \frac { 3 } { 450 }t ^ { 2 } -\frac { 94 } { 450 }t+\frac { 64 } { 45 }=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=10 \\ t=\frac { 64 } { 3 } \\ \end{array} \right. $. Bảng biến thiên của $ v_{ A } $ Từ đây suy ra $ \mathop { \max } \limits_{ \left ( { 0;20 } \right ) } v_{ A } =v_{ A } \left ( { 10 } \right )=6 $(m/s). b) Đúng. Vì đồ thị hàm số $ y=at ^ { 2 } +bt $ đi qua các điểm $ A\left ( { 5;6 } \right ) $ và $ B\left ( { 25;10 } \right ) $. Ta có hệ phương trình $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} 25a+6b=6 \\ 625a+25b=10 \\ \end{array} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} a=-\frac { 1 } { 25 } \\ b=\frac { 7 } { 5 } \\ \end{array} \end{array} \right. $. Suy ra hàm số vận tốc của vận động viên $ B $ là $ v_{ B } =-\frac { 1 } { 25 }t ^ { 2 } +\frac { 7 } { 5 }t $. Quãng đường vận động viên $ A $ đi được sau $ 30{ \rm{ s } } $ là: $ s_{ A } =\int _{ 0 }^{ 30 } { \left ( { \frac { 3 } { 450 }t ^ { 3 } -\frac { 47 } { 450 }t ^ { 2 } +\frac { 64 } { 45 }t } \right ){ \rm{ d } }t=150 } $. Quãng đường vận động viên $ B $ đi được sau $ 30{ \rm{ s } } $ là $ s_{ B } =\int _{ 0 }^{ 30 } { \left ( { -\frac { 1 } { 25 }t ^ { 2 } +\frac { 7 } { 5 }t } \right ){ \rm{ d } }t=270 } $. Khoảng cách sau $ 30{ \rm{ s } } $ của hai vận động viên là: $ \Delta _{ S } =s_{ A } -s_{ B } =\left | { 150-270 } \right |=120 $. c) Sai. $ a=-\frac { 1 } { 25 } $. d) Sai. Quãng đường vận động viên $ B $ đi được sau $ 30{ \rm{ s } } $ là $ s_{ B } =\int _{ 0 }^{ 30 } { \left ( { -\frac { 1 } { 25 }t ^ { 2 } +\frac { 7 } { 5 }t } \right ){ \rm{ d } }t=270 } $.