Một hộp chứa $7$ viên bi màu trắng, $10$ viên bi màu xanh; các viên bi có kích thước và khối lượng giống nhau. Lấy ngẫu nhiên đồng thời từ hộp ra $5$ viên bi. Xác suất để trong số $5$ viên bi được lấy ra có ít nhất $1$ viên bi màu xanh là phân số tối giản $\frac{m}{n}$ với $m, n \in \mathbb{N}^*$. Tổng $m+n$ bằng bao nhiêu?

Lời giải Không gian mẫu là số cách chọn $5$ viên bi từ $17$ viên bi: $$ n(\Omega) = C_{17}^{5} = 6188 $$ Gọi $A$ là biến cố: “trong số $5$ viên bi được lấy ra có ít nhất $1$ viên bi màu xanh”. Khi đó $\overline{A}$ là biến cố: “trong số $5$ viên bi được lấy ra không có viên bi màu xanh nào” (tức là chọn $5$ viên bi đều màu trắng). $$ n(\overline{A}) = C_{7}^{5} = 21 $$ Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là: $$ n(A) = n(\Omega) - n(\overline{A}) = 6188 - 21 = 6167 $$ Vậy xác suất của biến cố $A$ là: $$ P(A) = \frac{6167}{6188} = \frac{881}{884} $$ Từ đó $m = 881, n = 884$, nên $m + n = 1765$.