Cho $ f\left ( { x } \right )=\frac { 2024 ^ { x } } { 2024 ^ { x } +\sqrt[] { 2024 } } $. Tính giá trị của biểu thức $ S=f\left ( { \frac { 1 } { 2025 } } \right )+f\left ( { \frac { 2 } { 2025 } } \right )+f\left ( { \frac { 3 } { 2025 } } \right )+...+f\left ( { \frac { 2024 } { 2025 } } \right ) $.

Ta có $ f(x)+f(1-x)=\frac { 2024 ^ { x } } { 2024 ^ { x } +\sqrt[] { 2024 } }+\frac { 2024 ^ { 1-x } } { 2024 ^ { 1-x } +\sqrt[] { 2024 } }=\frac { 2024 ^ { x } } { 2024 ^ { x } +\sqrt[] { 2024 } }+\frac { \sqrt[] { 2024 } } { 2024 ^ { x } +\sqrt[] { 2024 } }=1. $ Khi đó $ f\left ( { \frac { 1 } { 2025 } } \right )+f\left ( { \frac { 2024 } { 2025 } } \right )=1 $ $ f\left ( { \frac { 2 } { 2025 } } \right )+f\left ( { \frac { 2023 } { 2025 } } \right )=1 $ ... $ f\left ( { \frac { 1012 } { 2025 } } \right )+f\left ( { \frac { 1013 } { 2025 } } \right )=1 $ Do từ $ \frac { 1 } { 2025 } $ đến $ \frac { 2024 } { 2025 } $ có $ 1012 $ cặp số thỏa $ f\left ( { x } \right )+f\left ( { 1-x } \right )=1 $. Vậy $ S=1+1+...+1=1012 $.