Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a, \, AA' = 2a$. Các khẳng định sau là đúng hay sai?

a) Sai b) Đúng c) Sai d) Sai Lời giải a) Sai. Do $AA'C'C$ là hình chữ nhật nên $d(AA', CC') = AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = a\sqrt{2}$. b) Đúng. Ta có: $$ \left\{\begin{array}{l} A'B \parallel CD' \Rightarrow A'B \parallel \Big(B'CD'\Big) \\ BD \parallel B'D' \Rightarrow BD \parallel \Big(B'CD'\Big) \end{array}\right. \Rightarrow \Big(A'BD\Big) \parallel \Big(B'CD'\Big) $$ Vậy: $$ d\Big(\Big(A'BD\Big), \Big(B'CD'\Big)\Big) = d\Big(C, \Big(A'BD\Big)\Big) = d\Big(A, \Big(A'BD\Big)\Big) $$ Do $A.A'BD$ là tứ diện đôi một vuông góc tại đỉnh $A$ nên: $$ \frac{1}{d^{2}\Big(A, \Big(A'BD\Big)\Big)} = \frac{1}{AA'^{2}} + \frac{1}{AB^{2}} + \frac{1}{AD^{2}} = \frac{1}{4a^{2}} + \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{a^{2}} = \frac{9}{4a^{2}} \Rightarrow d\Big(A, \Big(A'BD\Big)\Big) = \frac{2a}{3} $$ c) Sai. Do $G$ là trọng tâm tam giác $A'BD$ nên ta có: $$ \frac{GO}{A'O} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{d\Big(G, \Big(ABCD\Big)\Big)}{d\Big(A', \Big(ABCD\Big)\Big)} = \frac{d\Big(G, \Big(ABCD\Big)\Big)}{AA'} = \frac{1}{3} \Rightarrow d\Big(G, \Big(ABCD\Big)\Big) = \frac{1}{3} \cdot 2a = \frac{2a}{3} $$ d) Sai. Ta có: $CD' \parallel A'B \Rightarrow CD' \parallel \Big(A'BD\Big)$ chứa $BD$. $$ \Rightarrow d(BD, CD') = d\Big(CD', \Big(A'BD\Big)\Big) = d\Big(C, \Big(A'BD\Big)\Big) = d\Big(A, \Big(A'BD\Big)\Big) = \frac{2a}{3} $$