Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy $ ABC $ là tam giác cân tại $ A $, $ AB=AC=a $, $ \widehat { BAC }=45° $. Mặt bên $ SAB $ là tam giác vuông cân tại $ S $ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $ AB $ và $ SC $ bằng $ \frac { a } { \sqrt[] { m } } $. Tìm $ m $ với $ m∈\mathbb{N} $.

Gọi $ H $ là trung điểm của $ AB $, dựng hình bình hành $ ABCD $, dựng đường cao $ CF $ của tam giác $ ABC $. Khi đó $ AB\parallel \left ( { SCD } \right )⇒d\left ( { AB,SC } \right )=d\left ( { AB,\left ( { SCD } \right ) } \right )=d\left ( { H,\left ( { SCD } \right ) } \right ) $. Ta có $ SH⊥\left ( { ABCD } \right ) $, kẻ $ HE⊥CD\,\,\left ( { E∈CD } \right ),HK⊥SE\,\,\left ( { K∈SE } \right ) $. Dễ thấy $ HK⊥\left ( { SCD } \right )⇒d\left ( { H,\left ( { SCD } \right ) } \right )=HK $, tứ giác $ CFHE $ là hình chữ nhật nên $ CF=HE $. Có $ S_{ ΔABC } =\frac { 1 } { 2 }AB.AC.sinBAC=\frac { 1 } { 2 }AB.CF⇒CF=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 }=HE $, mà $ SH=\frac { AB } { 2 }=\frac { a } { 2 } $ Do đó có $ \frac { 1 } { HK ^ { 2 } }=\frac { 1 } { HE ^ { 2 } }+\frac { 1 } { HS ^ { 2 } }⇒HK=\frac { a } { \sqrt[] { 6 } }⇒d\left ( { AB,SC } \right )=\frac { a } { \sqrt[] { 6 } }=\frac { a } { \sqrt[] { m } }⇒m=6 $.