Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a, SA=SB=SC=SD=a\sqrt{2}$. Gọi $I, K$ lần lượt là trung điểm của $AB, CD$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $CD$ theo $a$ được viết dưới dạng $d\left(SB, CD\right) = \frac{\sqrt{m}}{n}a; \left(m, n\right) = 1$. Tính $T=m+n$

Lời giải Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Ta có $CD // BA \Rightarrow CD // \left(SBA\right)$. Nên $d\left(CD, SB\right) = d\left(CD, \left(SBA\right)\right) = d\left(K, \left(SBA\right)\right)$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $SI$ ($I$ là trung điểm $AB$): $$ \begin{cases} OH \perp SI \\ OH \perp AB \end{cases} \Rightarrow OH \perp \left(SBA\right) \Rightarrow d\left(O, \left(SBA\right)\right) = OH $$ Trong $\triangle SAO: SO = \sqrt{SA^{2} - AO^{2}} = \sqrt{2a^{2} - \frac{a^{2}}{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$. Trong $\triangle SOK$ (với $OH \perp SI$): $\frac{1}{OH^{2}} = \frac{1}{OS^{2}} + \frac{1}{OI^{2}} = \frac{4}{6a^{2}} + \frac{4}{a^{2}} = \frac{14}{3a^{2}}$. $$ \Rightarrow OH = \frac{a\sqrt{42}}{14} $$ Vì $K$ đối xứng với $I$ qua $O$ nên $d\left(K, \left(SBA\right)\right) = 2d\left(O, \left(SBA\right)\right) = 2OH = \frac{a\sqrt{42}}{7}$. Vậy $m=42, n=7 \Rightarrow T=49$.