Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ và $A'A = 2a$. Gọi $M$ là trung điểm của $AA'$. Khi đó:

a) Sai b) Đúng c) Sai d) Sai Lời giải a) Sai. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A'B'$ và $AB$ cũng chính bằng khoảng cách giữa $\Big(ABC\Big)$ và $\Big(A'B'C'\Big)$ bằng cạnh $AA' = 2a$ (vì $A'B' \parallel AB$ và $\Big(A'B'C'\Big) \parallel \Big(ABC\Big)$). b) Đúng. c) Sai. Gọi $I = CM \cap AC'$ trong $\Big(ACC'A'\Big)$ và $K$ là trung điểm $AB$. Dựng $CN \perp C'K$ trong $\Big(CKC'\Big)$. Ta có: $$ \left\{\begin{array}{l} AB \perp CK \\ AB \perp CC' \end{array}\right. \Rightarrow AB \perp \Big(CKC'\Big) \Rightarrow AB \perp CN \subset \Big(CKC'\Big) $$ mà $CN \perp C'K$ (theo cách dựng) $\Rightarrow CN \perp \Big(AC'B\Big) \Rightarrow d\Big(C, \Big(AC'B\Big)\Big) = CN$. Ta có: $$ \frac{d\Big(M, \Big(AC'B\Big)\Big)}{d\Big(C, \Big(AC'B\Big)\Big)} = \frac{MI}{CI} = \frac{MA}{CC'} = \frac{1}{2} \Rightarrow d\Big(M, \Big(AC'B\Big)\Big) = \frac{1}{2} d\Big(C, \Big(AC'B\Big)\Big) = \frac{CN}{2} $$ Xét tam giác $CC'K$ có: $$ \frac{1}{CN^{2}} = \frac{1}{CC'^{2}} + \frac{1}{CK^{2}} = \frac{1}{(2a)^{2}} + \frac{1}{\Big(\frac{a\sqrt{3}}{2}\Big)^{2}} \Rightarrow CN = \frac{2a\sqrt{57}}{19} $$ Vậy $d\Big(M, \Big(AC'B\Big)\Big) = \frac{CN}{2} = \frac{a\sqrt{57}}{19}$. d) Sai. Ta có: $B'C' \parallel \Big(ABC\Big)$ suy ra: $$ d(B'C', AB) = d\Big(B'C', \Big(ABC\Big)\Big) = d\Big(B', \Big(ABC\Big)\Big) = BB' = 2a $$