Guồng nước (hay còn gọi là cọn nước) không chỉ là công cụ phục vụ sản xuất nông nghiệp, mà đã trở thành hình ảnh quen thuộc của bản làng và là một nét văn hoá đặc trưng của đồng bào dân tộc miền núi phía Bắc.Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính $ 2,5m $; trục của nó đặt cách mặt nước $ 2m $. Khi guồng quay đều, khoảng cách $ h\left ( { m } \right ) $ từ một ống đựng nước gắn tại một điểm của guồng đến mặt nước được tính theo công thức $ h=\left | { y } \right | $, trong đó $ y=2,5\sin\left ( { 2πx-\frac { π } { 2 } } \right )+2 $ với $ x $ (phút) là thời gian quay của guồng $ \left ( { x≥0 } \right ) $. Giá trị lớn nhất của $ h $ bằng bao nhiêu? $ $

Xét hàm số $ y=2,5\sin\left ( { 2πx-\frac { π } { 2 } } \right )+2 $ với $ x∈\left [ { 0;+∞ } \right ) $. Ta có: $ -0,5≤2,5\sin\left ( { 2πx-\frac { π } { 2 } } \right )+2≤4,5\,\,\,,\,∀x∈\left [ { 0;+∞ } \right ) $ $ ⇔-0,5≤y≤4,5\,\,\,,\,∀x∈\left [ { 0;+∞ } \right ) $ Suy ra $ \mathop { Max } \limits_{ \left [ { 0;+∞ } \right ) } y=4,5⇔\sin\left ( { 2πx-\frac { π } { 2 } } \right )=1 $ $ \mathop { Min } \limits_{ \left [ { 0;+∞ } \right ) } y=-0,5⇔\sin\left ( { 2πx-\frac { π } { 2 } } \right )=-1 $ Khi đó $ \mathop { Max } \limits_{ \left [ { 0;+∞ } \right ) } h=\mathop { Max } \limits_{ \left [ { 0;+∞ } \right ) } \left | { y } \right |=\mathop { Max } \limits_{ \left [ { 0;+∞ } \right ) } \left\{\left | { -0,5 } \right |;\left | { 4,5 } \right |\right\}=4,5 $.