Trắc nghiệm · Câu 60
Cho dãy số $\Big(u_n\Big)$ biết $u_n = \sqrt{3n+2} - \sqrt{3n+1}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
B.
Dãy số giảm
Lời giải
Lời giải
Bằng cách nhân liên hợp, ta biến đổi số hạng tổng quát của dãy số như sau:
$$
u_n = \sqrt{3n+2} - \sqrt{3n+1} = \frac{(\sqrt{3n+2} - \sqrt{3n+1})(\sqrt{3n+2} + \sqrt{3n+1})}{\sqrt{3n+2} + \sqrt{3n+1}} = \frac{1}{\sqrt{3n+2} + \sqrt{3n+1}}
$$
Xét số hạng $u_{n+1}$:
$$
u_{n+1} = \frac{1}{\sqrt{3(n+1)+2} + \sqrt{3(n+1)+1}} = \frac{1}{\sqrt{3n+5} + \sqrt{3n+4}}
$$
Với mọi $n \in \mathbb{N}^*$, ta có:
$$
\begin{cases} \sqrt{3n+5} > \sqrt{3n+2} \\ \sqrt{3n+4} > \sqrt{3n+1} \end{cases} \Rightarrow \sqrt{3n+5} + \sqrt{3n+4} > \sqrt{3n+2} + \sqrt{3n+1} > 0
$$
$$
\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3n+5} + \sqrt{3n+4}} < \frac{1}{\sqrt{3n+2} + \sqrt{3n+1}}
$$
$$
\Rightarrow u_{n+1} < u_n, \quad \forall n \in \mathbb{N}^*
$$
Vì $u_{n+1} < u_n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$ nên $\Big(u_n\Big)$ là một dãy số giảm.
Chọn B.