Một cửa sổ Norman có hình dạng gồm một hình chữ nhật bên dưới, phía trên là nửa hình tròn có đường kính bằng chiều rộng của hình chữ nhật. (Xem hình.) Nếu chu vi tổng cộng của cửa sổ là 20 feet, hãy tìm diện tích lớn nhất hình chữ nhật và nửa hình tròn để cửa sổ nhận được ánh sáng nhiều nhất (tức là diện tích toàn phần lớn nhất) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Gọi hình chữ nhật bên dưới có chiều rộng là $w$ và chiều cao là $h$. Khi đó, chu vi tổng cộng của đường viền ngoài (không kể đường phân cách giữa hình chữ nhật và bán kính) là $w + 2h + \frac{\pi w}{2} = 20$ ft. Diện tích toàn phần gồm diện tích hình chữ nhật và diện tích nửa hình tròn: $A = wh + \frac{\pi}{8}w^{2}$. Biểu diễn $h$ theo $w$ từ điều kiện chu vi: $w + 2h + \frac{\pi w}{2} = 20 \Leftrightarrow 2h = 20 - w - \frac{\pi w}{2} \Leftrightarrow h = 10 - \frac{w}{2} - \frac{\pi w}{4}$. Suy ra hàm diện tích: $A(w) = w\left(10 - \frac{w}{2} - \frac{\pi w}{4}\right) + \frac{\pi}{8}w^{2} = 10w - \left(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{8}\right)w^{2}$. Tìm $w$ để $A(w)$ cực đại. Hàm bậc hai có hệ số $a = -\left(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{8}\right) < 0$. Đỉnh tại $w^{*} = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2\left[-\left(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{8}\right)\right]} = \frac{10}{1 + \frac{\pi}{4}} = \frac{40}{4 + \pi}$. Vậy diện tích lớn nhất: $A_{\max} = 10w^{*} - \left(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{8}\right)(w^{*})^{2} \approx 28\text{ ft}^{2}$.