Bạn An làm bài thi phần trắc nghiệm đúng sai gồm 4 câu hỏi mỗi câu 1 điểm, trong đó bạn làm chắc chắn đúng hai câu còn hai câu còn lại bạn chọn ngẫu nhiên đúng hoặc sai.

Để thuận cho ký hiệu và lập luận ta xem hai câu mà bạn An chọn ngẫu nhiên các đáp án đúng hoặc sai là câu 1, câu 2. Gọi $ A_{ i } \, $là biến cố: Bạn An trả lời đúng $ i $ ý của câu $ 1 $ với $ i=0\,,1\,,2,3\,,4. $ Gọi $ B_{ i } \, $là biến cố: Bạn An trả lời đúng $ i $ ý của câu $ 2 $ với $ i=0\,,1\,,2\,,3\,,4. $ a) Đúng. Gọi $ A $ là biến cố: Bạn An được $ 4 $ điểm phần trắc nghiệm đúng sai. $ P(A)=P(A_{ 4 } B_{ 4 } )=P(A_{ 4 } ).P(B_{ 4 } )=\frac { 1 } { 2 ^ { 4 } }⋅\frac { 1 } { 2 ^ { 4 } }=\frac { 1 } { 256 }. $ b) Đúng. Gọi $ B $ là biến cố: Bạn An được $ 3,5 $ điểm phần trắc nghiệm đúng sai. $ P(B)=P(A_{ 4 } B_{ 3 } +A_{ 3 } B_{ 4 } )=P(A_{ 4 } ).P(B_{ 3 } )+P(A_{ 3 } ).P(B_{ 4 } ) \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac { 1 } { 2 ^ { 4 } }⋅\frac { C_{ 4 } ^{ 3 } } { 2 ^ { 4 } }+\frac { C_{ 4 } ^{ 3 } } { 2 ^ { 4 } }⋅\frac { 1 } { 2 ^ { 4 } }=\frac { 1 } { 32 }. $ c) Sai. Gọi $ C $ là biến cố: Bạn An được $ 2 $ điểm phần trắc nghiệm đúng sai. $ P(C)=P(A_{ 0 } B_{ 0 } )=P(A_{ 0 } ).P(B_{ 0 } )=\frac { 1 } { 2 ^ { 4 } }⋅\frac { 1 } { 2 ^ { 4 } }=\frac { 1 } { 256 }. $ d) Đúng. Gọi $ D $ là biến cố: bạn An được $ 3 $ điểm phần trắc nghiệm đúng sai. $ P(D)=P(A_{ 4 } B_{ 0 } +A_{ 0 } B_{ 4 } +A_{ 3 } B_{ 3 } )=P(A_{ 4 } ).P(B_{ 0 } )+P(A_{ 0 } ).P(B_{ 4 } )+P(A_{ 3 } ).P(B_{ 3 } ) \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac { 1 } { 2 ^ { 4 } }⋅\frac { 1 } { 2 ^ { 4 } }+\frac { 1 } { 2 ^ { 4 } }⋅\frac { 1 } { 2 ^ { 4 } }+\frac { C_{ 4 } ^{ 3 } } { 2 ^ { 4 } }⋅\frac { C_{ 4 } ^{ 3 } } { 2 ^ { 4 } }=\frac { 9 } { 128 }. $