Rút gọn biểu thức $ A=\frac { \sqrt[3] { a ^ { 7 } }.a ^ { \frac { 11 } { 3 } } } { a ^ { 4 } .\sqrt[7] { a ^ { -5 } } } $ với $ a>0 $ ta được kết quả $ A=a ^ { \frac { m } { n } } $ trong đó $ m,n∈N ^ { * } $ và $ \frac { m } { n } $ là phân số tối giản. Tính $ S=m ^ { 2 } -n ^ { 2 } $.

Ta có: $ A=\frac { \sqrt[3] { a ^ { 7 } }.a ^ { \frac { 11 } { 3 } } } { a ^ { 4 } .\sqrt[7] { a ^ { -5 } } }=\frac { a ^ { \frac { 7 } { 3 } } .a ^ { \frac { 11 } { 3 } } } { a ^ { 4 } .a ^ { \frac { -5 } { 7 } } }=\frac { a ^ { 6 } } { a ^ { \frac { 23 } { 7 } } }=a ^ { \frac { 19 } { 7 } } $ Mà $ A=a ^ { \frac { m } { n } } $,$ m,n ∈N ^ { * } $ và $ \frac { m } { n } $ là phân số tối giản $ ⇒m=19,n=7 \ ⇒m ^ { 2 } -n ^ { 2 } =312 $ Vậy: $ S=312 $.