(Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2025) Trong lớp chuyên Toán trường Chuyên Lam Sơn có $36$ bàn học cá nhân (mỗi bàn chỉ được xếp nhiều nhất một bạn), được xếp thành $4$ hàng và $9$ cột (các hàng được đánh số từ trên xuống dưới theo thứ tự từ $1$ đến $4$, các cột được đánh số từ trái qua phải theo thứ tự từ $1$ đến $9$). Biết sĩ số học sinh của lớp là $35$. Sau học kì I, thầy chủ nhiệm xếp lại chỗ ngồi cho các bạn học sinh trong lớp. Giả sử trước thời điểm chuyển chỗ bạn ngồi ở hàng thứ $m$, cột thứ $n$ và sau khi chuyển chỗ bạn đó sẽ ngồi ở hàng thứ $a_{m}$, cột thứ $a_{n}$ thì ta gán cho bạn đó số nguyên là $(a_{m} + a_{n}) - (m + n)$. Nếu ban đầu bàn trống ở vị trí $(1; 1)$, sau khi chuyển chỗ bàn trống ở vị trí $(2; 5)$ thì tổng của $35$ số nguyên được gán cho $35$ bạn là bao nhiêu?

Lời giải Ta giả sử có một "bạn ảo" $A$ ở kì I ngồi ở vị trí $(1; 1)$ và sang kì II ngồi ở vị trí $(2; 5)$. Khi đó, số được gán cho bạn ảo $A$ này là: $$ (2 + 5) - (1 + 1) = 7 - 2 = 5 $$ Lúc này, ta xem lớp học có đủ $36$ bạn được xếp vào $36$ vị trí. Tổng các số được gán cho $36$ bạn là tổng của các giá trị $(a_{m} + a_{n}) - (m + n)$ khi $(a_{m}, a_{n})$ chạy qua tất cả các vị trí $(m, n)$. Vì tập các giá trị $(a_{m}, a_{n})$ là một hoán vị của tập các vị trí $(m, n)$ ban đầu, nên tổng các giá trị $(a_{m} + a_{n})$ bằng tổng các giá trị $(m + n)$. Do đó, tổng các số được gán cho $36$ bạn (bao gồm cả bạn ảo $A$) là: $$ \sum (a_{m} + a_{n}) - \sum (m + n) = 0 $$ Gọi $S$ là tổng các số gán cho $35$ bạn thực tế của lớp. Ta có: $$ S + 5 = 0 \Rightarrow S = -5 $$ Vậy tổng của $35$ số nguyên được gán cho $35$ bạn là $-5$.