Trong mặt phẳng $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $A(-2;0)$, $B(0;3)$ và $C(3;-2)$ (tham khảo hình vẽ). Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của $b$ sao cho điểm $M(b;b+2)$ nằm trên hình tam giác $ABC$ tính cả ba cạnh $AB, BC, CA$.

Hình tam giác $ABC$ tính cả 3 cạnh của nó là miền nghiệm của hệ bất phương trình chứa gốc toạ độ $O(0;0)$ và lần lượt có các bờ là các đường thẳng $AB, BC, CA$. - Phương trình đường thẳng $AB$: $-3x+2y=6$. Bất phương trình miền nghiệm chứa gốc toạ độ $O$ là $-3x+2y \le 6$. - Phương trình đường thẳng $BC$: $5x+3y=9$. Bất phương trình miền nghiệm chứa gốc toạ độ $O$ là $5x+3y \le 9$. - Phương trình đường thẳng $CA$: $2x+5y=-4$. Bất phương trình miền nghiệm chứa gốc toạ độ $O$ là $2x+5y \ge -4$. Như vậy, miền tam giác $ABC$ tính cả ba cạnh là miền nghiệm của hệ bất phương trình: $ \left\{ \begin{array}{l} -3x+2y \le 6 \\ 5x+3y \le 9 \\ 2x+5y \ge -4 \end{array} \right. $ (*) Điểm $M(b;b+2)$ nằm trên hình tam giác $ABC$ khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn hệ (*), tức là: $ \left\{ \begin{array}{l} -3b+2(b+2) \le 6 \\ 5b+3(b+2) \le 9 \\ 2b+5(b+2) \ge -4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -b+4 \le 6 \\ 8b+6 \le 9 \\ 7b+10 \ge -4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b \ge -2 \\ b \le \frac{3}{8} \\ b \ge -2 \end{array} \right. \Leftrightarrow -2 \le b \le \frac{3}{8} $ Vì $b$ nhận các giá trị nguyên nên $b \in \{-2; -1; 0\}$. Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của $b$ thỏa mãn bài toán là: $(-2) + (-1) + 0 = -3$.