Một khối gỗ có các mặt đều là một phần của mặt phẳng với $ \left ( { ABCD } \right )\parallel \left ( { EFMH } \right ),\,CK\parallel DH. $ Khối gỗ bị hỏng một góc (Hình). Bác thợ mộc muốn làm đẹp khối gỗ bằng cách cắt khối gỗ theo mặt phẳng $ \left ( { R } \right ) $ đi qua $ K $ và song song với mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ). $ Gọi $ I,\,J $ lần lượt là giao điểm của $ DH,\,BF $ với mặt phẳng $ \left ( { R } \right ). $ Biết $ BF=60\,\,{ \rm{ cm } },\,DH=75\,\,{ \rm{ cm } },\,CK=40\,\,{ \rm{ cm } }. $ Tính $ FJ. $

Lời giải Từ $K$ dựng đường thẳng song song với $BC$ cắt $BF$ tại $J$. Từ $J$ kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $AE$ tại $N$. Từ $N$ kẻ đường thẳng song song với $AD$ cắt $DH$ tại $I$. Khi đó: $$(R) \cap (CDHK) = IK, \quad (R) \cap (BCKMF) = JK, \quad (R) \cap (ABFE) = JN, \quad (R) \cap (ADHE) = IN$$ Khi đó thiết diện của khối gỗ cắt bởi mặt phẳng $(R)$ là tứ giác $IKJN$. Dễ thấy $(ABCD) \parallel (EFMH) \parallel (IKJN)$. Vì $CDIK$ là hình bình hành nên $ID = CK = 40\text{ cm} \Rightarrow HI = DH - ID = 75 - 40 = 35\text{ cm}$. Áp dụng định lí Thales trong không gian, ta có: $$ \frac{FJ}{JB} = \frac{HI}{ID} = \frac{35}{40} = \frac{7}{8} \Rightarrow \frac{FJ}{BF} = \frac{7}{15} \Rightarrow FJ = \frac{7}{15}BF = 28\text{ cm} $$ Vậy $FJ = 28\text{ cm}$.