Cho hình bình hành $ ABCD $ và $ ABEF $ nằm ở hai mặt phẳng khác nhau. Gọi $ M $ là trọng tâm $ ΔABE $. Gọi $ (P) $ là mặt phẳng đi qua $ M $ và song song với mặt phẳng$ (ADF) $. $ (P) $ cắt $ AB,AC,CD,EF $ lần lượt tại $ I,N,K,J $. Khi đó:

a) Đúng. Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} EF//CD{ \rm{ } }(//AB) \\ EF=CD{ \rm{ } }(=AB) \\ \end{array} ⇒EFDC \end{array} \right. $ là hình bình hành. Do đó: $ EC//FD $. b) Đúng. Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} AD//BC;AF//BE \\ AD,AF⊂(ADF);AD∩AF=A \\ BC,BE⊂(BEC);BC∩BE=B \\ \end{array} ⇒(ADF)//(BCE) \end{array} \right. $ c) Đúng. Vì $ I∈AB,J∈EF $ nên $ IJ⊂\left ( { ABEF } \right ) $. Mặt khác, $ IJ⊂\left ( { P } \right ) $. Do đó, $ IJ $ là giao tuyến của hai mặt phẳng $ \left ( { ABEF } \right ) $ và $ \left ( { P } \right ) $. Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} \left ( { P } \right )//\left ( { ADF } \right ) \\ \left ( { ABEF } \right )∩\left ( { P } \right )=IJ \\ \left ( { ABEF } \right )∩\left ( { ADF } \right ){ \rm{ =AF } } \end{array} \right.⇒{ \rm{ IJ } }//{ \rm{ AF } } $. Vì $ IJ $ là giao tuyến của hai mặt phẳng $ \left ( { ABEF } \right ) $ và $ \left ( { P } \right ) $ mà $ M $là điểm chung của hai mặt phẳng $ \left ( { ABEF } \right ) $ và $ \left ( { P } \right ) $ nên $ M∈{ \rm{ IJ } } $. d) Sai. Chọn $A$ làm gốc và đặt $\overrightarrow{AB}=\vec b$, $\overrightarrow{AD}=\vec d$, $\overrightarrow{AF}=\vec f$. Vì $ABCD$ và $ABEF$ là các hình bình hành nên $C$ có vectơ vị trí $\vec b+\vec d$, còn $E$ có vectơ vị trí $\vec b+\vec f$. Điểm $M$ là trọng tâm tam giác $ABE$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{2\vec b+\vec f}{3}$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M$ và song song với $(ADF)$, vì vậy mọi điểm trên $(P)$ có dạng $M+x\vec d+y\vec f$. Giao điểm $I=(P)\cap AB$ có vectơ vị trí $\overrightarrow{AI}=\frac{2}{3}\vec b$. Giao điểm $N=(P)\cap AC$ có vectơ vị trí $\overrightarrow{AN}=\frac{2}{3}(\vec b+\vec d)$. Do đó $\frac{AN}{AC}=\frac{2}{3}$ và $\frac{NC}{AC}=\frac{1}{3}$, suy ra $\frac{AN}{NC}=2\ne3$. Vậy mệnh đề d) sai.