Tam giác $ ABC $ có hai đường trung tuyến $ BM,CN $ vuông góc với nhau và có $ BC=4 $,$ \widehat { BAC }=30° $. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ ABC $. (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Gọi $ AB=c $, $ BC=a $, $ CA=b $, $ H=BM∩CN $. Ta có: $ BH ^ { 2 } =\frac { 4 } { 9 }\left ( { \frac { a ^ { 2 } +c ^ { 2 } } { 2 }-\frac { b ^ { 2 } } { 4 } } \right ),CH ^ { 2 } =\frac { 4 } { 9 }\left ( { \frac { a ^ { 2 } +b ^ { 2 } } { 2 }-\frac { c ^ { 2 } } { 4 } } \right ). $ Do tam giác $ BHC $ vuông tại $ H $ nên $ BH ^ { 2 } +CH ^ { 2 } =16⇔\frac { 4 } { 9 }\left ( { \frac { a ^ { 2 } +c ^ { 2 } } { 2 }-\frac { b ^ { 2 } } { 4 } } \right )+\frac { 4 } { 9 }\left ( { \frac { a ^ { 2 } +b ^ { 2 } } { 2 }-\frac { c ^ { 2 } } { 4 } } \right )=16 $ $ ⇔\frac { 4 } { 9 }\left ( { a ^ { 2 } +\frac { b ^ { 2 } +c ^ { 2 } } { 4 } } \right )=16⇔a ^ { 2 } +\frac { b ^ { 2 } +c ^ { 2 } } { 4 }=36⇒\frac { b ^ { 2 } +c ^ { 2 } } { 4 }=20⇒b ^ { 2 } +c ^ { 2 } =80 $. Áp dụng định lí côsin trong tam giác $ ABC $, ta có: $ a ^ { 2 } =b ^ { 2 } +c ^ { 2 } -2bccosA⇒b ^ { 2 } +c ^ { 2 } -bc\sqrt[] { 3 }=16⇒bc\sqrt[] { 3 }=64⇒bc=\frac { 64 } { \sqrt[] { 3 } }=\frac { 64\sqrt[] { 3 } } { 3 } $ $ ⇒S_{ ABC } =\frac { 1 } { 2 }bc.sinA=\frac { 1 } { 2 }.\frac { 64\sqrt[] { 3 } } { 3 }.\frac { 1 } { 2 }=\frac { 16\sqrt[] { 3 } } { 3 }. $ Mặt khác, ta có: $ b ^ { 2 } +c ^ { 2 } =80⇔\left ( { b+c } \right ) ^ { 2 } -2bc=80⇔\left ( { b+c } \right ) ^ { 2 } =80+\frac { 128\sqrt[] { 3 } } { 3 } $ $ ⇒b+c=\sqrt[] { 80+\frac { 128\sqrt[] { 3 } } { 3 } } $$ ⇒a+b+c=4+\sqrt[] { 80+\frac { 128\sqrt[] { 3 } } { 3 } }=\frac { 4\sqrt[] { 3 }+4\sqrt[] { 15+8\sqrt[] { 3 } } } { \sqrt[] { 3 } } $. Theo công thức tính diện tích tam giác, ta có: $ S=pr⇒r=\frac { S } { p }=\frac { 4 } { \sqrt[] { 3 }+\sqrt[] { 15+8\sqrt[] { 3 } } }=0,56 $