Xét hai đa thức $ P\left ( { x } \right )=\left ( { x+\sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 5 } $ và $ Q\left ( { x } \right )=\left ( { x-\sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 5 } $.

Ta có $ P\left ( { x } \right )=\left ( { x+\sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 5 } =C_{ 5 } ^{ 0 }x ^ { 5 } +C_{ 5 } ^{ 1 }.x ^ { 4 } .\sqrt[] { 3 }+C_{ 5 } ^{ 2 }.x ^ { 3 } .\left ( { \sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 2 } +C_{ 5 } ^{ 3 }.x ^ { 2 } .\left ( { \sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 3 } +C_{ 5 } ^{ 4 }.x.\left ( { \sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 4 } +C_{ 5 } ^{ 5 }.\left ( { \sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 5 } $ $ =x ^ { 5 } +5.\sqrt[] { 3 }.x ^ { 4 } +30x ^ { 3 } +30\sqrt[] { 3 }.x ^ { 2 } +45.x+9\sqrt[] { 3 } $. $ Q\left ( { x } \right )=\left ( { x-\sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 5 } =C_{ 5 } ^{ 0 }x ^ { 5 } -C_{ 5 } ^{ 1 }.x ^ { 4 } .\sqrt[] { 3 }+C_{ 5 } ^{ 2 }.x ^ { 3 } .\left ( { \sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 2 } -C_{ 5 } ^{ 3 }.x ^ { 2 } .\left ( { \sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 3 } +C_{ 5 } ^{ 4 }.x.\left ( { \sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 4 } -C_{ 5 } ^{ 5 }.\left ( { \sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 5 } $ a) Sai. Với $ x=\sqrt[] { 3 } $, ta có $ P\left ( { x } \right )+Q\left ( { x } \right )=2x ^ { 5 } +60x ^ { 3 } +90x=288\sqrt[] { 3 } ≈498,83<500 $. b) Đúng. Tổng các hệ số nguyên trong khai triển $ P\left ( { x } \right ) $ (các số hạng không chứa $ \sqrt[] { 3 } $) bằng $ 1+30+45=76 $. c) Sai. Tổng các hệ số trong khai triển $ Q\left ( { x } \right ) $ là $ Q\left ( { 1 } \right )=1-5\sqrt[] { 3 }+30-30\sqrt[] { 3 }+45-9\sqrt[] { 3 }=76-44\sqrt[] { 3 } $ nên $ a=76,b=-44⇒a+b=32≠120 $. d) Sai. $ P\left ( { x } \right )-Q\left ( { x } \right )=2\sqrt[] { 3 }\left ( { 5x ^ { 4 } +30x ^ { 2 } +9 } \right ) $. Xét $ 5x ^ { 4 } +30x ^ { 2 } +9=0 $, đặt $ t=x ^ { 2 } ≥0 $ ta được $ 5t ^ { 2 } +30t+9=0 $ có $ \Delta=720>0 $ nhưng cả hai nghiệm $ t $ đều âm nên phương trình vô nghiệm thực. Vậy $ P\left ( { x } \right )-Q\left ( { x } \right )=0 $ vô nghiệm, không có 4 nghiệm phân biệt.