Thu gọn biểu thức $ A=\left ( { 2+\sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 5 } -\left ( { 2-\sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 5 } $ta được $ A=a+b\sqrt[] { 3 } $ với $ a,b $là các số nguyên. Tính tổng $ a+b $.

Ta có: $ \left ( { 2+\sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 5 } =C_{ 5 } ^{ 0 }2 ^ { 5 } +C_{ 5 } ^{ 1 }2 ^ { 4 } \sqrt[] { 3 }+C_{ 5 } ^{ 2 }2 ^ { 3 } \left ( { \sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 2 } +C_{ 5 } ^{ 3 }2 ^ { 2 } \left ( { \sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 3 } +C_{ 5 } ^{ 4 }2\left ( { \sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 4 } +C_{ 5 } ^{ 5 }\left ( { \sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 5 } $ $ \left ( { 2-\sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 5 } =C_{ 5 } ^{ 0 }2 ^ { 5 } -C_{ 5 } ^{ 1 }2 ^ { 4 } \sqrt[] { 3 }+C_{ 5 } ^{ 2 }2 ^ { 3 } \left ( { \sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 2 } -C_{ 5 } ^{ 3 }2 ^ { 2 } \left ( { \sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 3 } +C_{ 5 } ^{ 4 }2\left ( { \sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 4 } -C_{ 5 } ^{ 5 }\left ( { \sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 5 } $ Do đó $ A=2\left[ C_{ 5 } ^{ 1 }2 ^ { 4 } \sqrt[] { 3 }+C_{ 5 } ^{ 3 }2 ^ { 2 } \left ( { \sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 3 } +C_{ 5 } ^{ 5 }\left ( { \sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 5 } \right]=418\sqrt[] { 3 } $ Vậy $ a+b=418 $.