Trên địa bàn huyện X, đồn biên phòng có đặt một trạm thông tin tại vị trí có tọa độ $ H\left ( { 3\,;\,4 } \right ) $ trong mặt phẳng tọa độ (đơn vị trên hai trục là ki-lô-mét). Biết trạm thông tin thu phát tín hiệu với bán kính phủ sóng $ 5\,km $. Trong đợt tuần tra, anh bộ đội bị thất lạc và không thể liên lạc được với đội biên phòng. Tuy nhiên, theo thiết bị định vị anh đang ở vị trí có tọa độ $ K\left ( { 27\,;\,36 } \right ) $. Anh đã di chuyển (theo đường chim bay) đoạn đường ngắn nhất tới vị trí $ M\left ( { u;\,v } \right ) $ để có thể liên lạc với đồn biên phòng. Tính giá trị biểu thức $ 3u+2v $.

Ta có $ \overset\rightarrow { HM }=\left ( { u-3\,;\,v-4 } \right ) $, $ \overset\rightarrow { HK }=\left ( { 24\,;\,32 } \right ) $. Vì anh bộ đội di chuyển một đoạn đường ngắn nhất từ $ K\left ( { 27;\,36 } \right ) $ đến $ M\left ( { u\,;\,v } \right ) $nên $ M $ phải nằm trên đoạn thẳng $ HK $. Nên vectơ $ \overset\rightarrow { HM } $ cùng hướng với vectơ $ \overset\rightarrow { HK } $. Suy ra $ \left \{ \begin{array}{l} u-3=24k \\ v-4=32k \end{array} \right. $, $ k>0 $ (1) Mặt khác, để trạm thông tin bắt được tín hiệu và anh bộ đội di chuyển đoạn đường ngắn nhất thì $ MH=5⇔\sqrt[] { \left ( { u-3 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { v-4 } \right ) ^ { 2 } }=5 $ (2) Từ (1) và (2) suy ra $ \left ( { 24k } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 32k } \right ) ^ { 2 } =25 $ $ ⇔1600k ^ { 2 } =25 $ $ ⇒k=\frac { 1 } { 8 } $ ( vì $ k>0 $) Vậy $ \left \{ \begin{array}{l} u=6 \\ v=8 \end{array} \right. $. Do đó $ 3u+2v=3.6+2.8=34 $.