Cho các hàm số $f(x) = \begin{cases} \frac{x^{2} - 4}{x - 2} & \text{khi } x \neq 2 \\ 4,5 & \text{khi } x = 2 \end{cases}$ và $g(x) = \frac{2}{x - 1}$. Khi đó:

a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Sai Lời giải a) Đúng. Ta có $g(2) = \frac{2}{2 - 1} = 2$ và $\lim_{x \to 2} g(x) = \lim_{x \to 2} \frac{2}{x - 1} = 2$; suy ra $\lim_{x \to 2} g(x) = g(2)$. Vậy hàm số $g(x)$ liên tục tại điểm $x_{0} = 2$. b) Đúng. Ta có: $$ \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4 $$ c) Sai. Ta có $f(2) = 4,5$ và $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$. Suy ra $\lim_{x \to 2} f(x) \neq f(2)$. Vậy hàm số $f(x)$ không liên tục tại điểm $x_{0} = 2$. d) Sai. Xét hàm số $y = \frac{f(x)}{g(x)}$ trên khoảng $(1; 3)$, ta có: $$ y = \frac{f(x)}{g(x)} = \begin{cases} \frac{(x^{2} - 4)(x - 1)}{2(x - 2)} & \text{khi } x \in (1; 3) \setminus \{2\} \\ 2,5(x - 1) & \text{khi } x = 2 \end{cases} $$ Ta có: $$ \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 2} \frac{(x + 2)(x - 1)}{2} = 2 $$ và $\frac{f(2)}{g(2)} = 2,5(2 - 1) = 2,5$. Suy ra $\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{g(x)} \neq \frac{f(2)}{g(2)}$. Vậy hàm số $y = \frac{f(x)}{g(x)}$ không liên tục tại điểm $x_{0} = 2$.