Tìm giá trị lớn nhất của $a$ để hàm số $f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt[3]{3x + 2} - 2}{x - 2} & \text{khi } x > 2 \\ a^{2}x - \frac{1}{4} & \text{khi } x \leq 2 \end{cases}$ liên tục tại $x_0 = 2$.

Lời giải Ta có: * Giá trị hàm số tại $x = 2$: $$ f(2) = 2a^{2} - \frac{1}{4} $$ * Giới hạn bên phải tại $x = 2$: $$ \lim_{x \to 2^{+}} f(x) = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{\sqrt[3]{3x + 2} - 2}{x - 2} $$ $$ = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{\Big(\sqrt[3]{3x + 2} - 2\Big) \cdot \Big[\Big(\sqrt[3]{3x + 2}\Big)^{2} + 2\sqrt[3]{3x + 2} + 4\Big]}{\Big(x - 2\Big) \cdot \Big[\Big(\sqrt[3]{3x + 2}\Big)^{2} + 2\sqrt[3]{3x + 2} + 4\Big]} $$ $$ = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{3x - 6}{\Big(x - 2\Big) \cdot \Big[\Big(\sqrt[3]{3x + 2}\Big)^{2} + 2\sqrt[3]{3x + 2} + 4\Big]} $$ $$ = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{3}{\Big(\sqrt[3]{3x + 2}\Big)^{2} + 2\sqrt[3]{3x + 2} + 4} = \frac{3}{4 + 4 + 4} = \frac{1}{4} $$ * Giới hạn bên trái tại $x = 2$: $$ \lim_{x \to 2^{-}} f(x) = \lim_{x \to 2^{-}} \left(a^{2}x - \frac{1}{4}\right) = 2a^{2} - \frac{1}{4} $$ Hàm số liên tục tại $x_0 = 2$ khi và chỉ khi: $$ \lim_{x \to 2^{+}} f(x) = \lim_{x \to 2^{-}} f(x) = f(2) \Leftrightarrow 2a^{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow 2a^{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow a^{2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow a = \pm\frac{1}{2} $$ Vậy giá trị lớn nhất của $a$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $a = \frac{1}{2} = 0,5$.