Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} x^{2} - 3x - 4 & \text{khi } x \geq 1 \\ m & \text{khi } x < 1 \end{cases}$. Với giá trị nào của tham số $m$ thì hàm số liên tục tại điểm $x_0 = 1$.

Lời giải Tập xác định: $D = \mathbb{R}$. Tính giới hạn bên phải và giá trị của hàm số tại $x = 1$: $$ \lim_{x \to 1^{+}} f(x) = \lim_{x \to 1^{+}} \Big(x^{2} - 3x - 4\Big) = 1^{2} - 3 \cdot 1 - 4 = -6 $$ $$ f(1) = 1^{2} - 3 \cdot 1 - 4 = -6 $$ Tính giới hạn bên trái tại $x = 1$: $$ \lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1^{-}} m = m $$ Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x_0 = 1$ khi và chỉ khi: $$ \lim_{x \to 1^{+}} f(x) = \lim_{x \to 1^{-}} f(x) = f(1) \Leftrightarrow m = -6 $$ Vậy $m = -6$.