Đúng/Sai · Câu 2
Cho hàm số $y = f(x) = \begin{cases} \frac{x^{2} - 2025}{x - 45} & \text{khi } x \neq 45 \\ 2m + 4 & \text{khi } x = 45 \end{cases}$ ($m$ là tham số). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Sai
- b. Đúng
- c. Đúng
- d. Sai
Lời giải
a) Sai
b) Đúng
c) Đúng
d) Sai
Lời giải
a) Sai: Hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$.
b) Đúng: Ta có:
$$
\lim_{x \to 45} \frac{x^{2} - 2025}{x - 45} = \lim_{x \to 45} (x + 45) = 90
$$
c) Đúng: Ta có $f(20) = 65$.
$$
\lim_{x \to 20} \frac{x^{2} - 2025}{x - 45} = \lim_{x \to 20} (x + 45) = 65 = f(20)
$$
nên $f(x)$ liên tục tại $x = 20$.
d) Sai: Với $x \neq 45$ thì $f(x) = \frac{x^{2} - 2025}{x - 45}$ là hàm số xác định trên khoảng $(-\infty; 45) \cup (45; +\infty)$.
Suy ra hàm số liên tục trên từng khoảng $(-\infty; 45)$ và $(45; +\infty)$.
Hàm số liên tục trên $\mathbb{R} \Leftrightarrow$ hàm số liên tục tại $x = 45 \Leftrightarrow \lim_{x \to 45} f(x) = f(45)$
$$
\Leftrightarrow \lim_{x \to 45} \frac{x^{2} - 2025}{x - 45} = 2m + 4
$$
$$
\Leftrightarrow \lim_{x \to 45} (x + 45) = 2m + 4
$$
$$
\Leftrightarrow 90 = 2m + 4 \Leftrightarrow m = 43
$$
Suy ra với $m = 43$ thì hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.