Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} \frac{4 - x^{2}}{\sqrt{x + 2} - 2} & \text{khi } x > 2 \\ mx + 8 & \text{khi } x \le 2 \end{cases}$ ($m$ là tham số).

a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Đúng Lời giải a) Đúng. Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}$. b) Đúng. Xét $f(x) = \frac{4 - x^{2}}{\sqrt{x + 2} - 2}$ khi $x > 2$, ta có: $$ f(7) = \frac{4 - 7^{2}}{\sqrt{7 + 2} - 2} = -45 $$ $$ \lim_{x \to 7} f(x) = \lim_{x \to 7} \frac{4 - x^{2}}{\sqrt{x + 2} - 2} = \frac{4 - 7^{2}}{\sqrt{7 + 2} - 2} = -45 = f(7) $$ Suy ra hàm số liên tục tại $x = 7$ với mọi $m$. c) Sai. Xét $f(x) = mx + 8$ khi $x \le 2$, ta có: $$ f(0) = m \cdot 0 + 8 = 8 $$ $$ \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} (mx + 8) = m \cdot 0 + 8 = 8 = f(0) $$ Suy ra hàm số liên tục tại $x = 0$ với mọi $m$. d) Đúng. Ta có: $$ \lim_{x \to 2^{+}} \frac{4 - x^{2}}{\sqrt{x + 2} - 2} = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{(4 - x^{2})\Big(\sqrt{x + 2} + 2\Big)}{x + 2 - 4} $$ $$ = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{(2 - x)(2 + x)\Big(\sqrt{x + 2} + 2\Big)}{x - 2} $$ $$ = \lim_{x \to 2^{+}} \Big[ -(2 + x)\Big(\sqrt{x + 2} + 2\Big) \Big] = -(2 + 2) \cdot (\sqrt{2 + 2} + 2) = -16 $$ $$ \lim_{x \to 2^{-}} (mx + 8) = 2m + 8 $$ Hàm số $f(x)$ liên tục tại điểm $x_{0} = 2$ khi và chỉ khi $\lim_{x \to 2^{+}} f(x) = \lim_{x \to 2^{-}} f(x) = f(2)$, tức là $2m + 8 = -16 \Leftrightarrow m = -12$.