Cho phương trình $ 4x ^ { 4 } +2x ^ { 2 } -x-3=0 $. Phương trình có đúng $ m $ nghiệm trên khoảng $ \left ( { -1;\,1 } \right ) $. Tìm $ m $.

Xét $ f\left ( { x } \right )=4x ^ { 4 } +2x ^ { 2 } -x-3 $ trên khoảng $ \left[ -1;\,1 \right] $. Ta có $ f\left ( { x } \right ) $ liên tục trên đoạn $ \left[ -1;\,1 \right] $. $ f\left ( { -1 } \right )=4 $, $ f\left ( { 0 } \right )=-3 $, $ f\left ( { 1 } \right )=2 ⇒f\left ( { -1 } \right ).f\left ( { 0 } \right ) < 0 $, $ f\left ( { 1 } \right ).f\left ( { 0 } \right ) < 0 $. Như vậy phương trình $ f\left ( { x } \right )=0 $ có hai nghiệm trong khoảng $ \left ( { -1;\,1 } \right ) $. Mặt khác $ f'\left ( { x } \right )=6x ^ { 3 } +4x-1 $. Ta có $ f'\left ( { -1 } \right )=-11 $, $ f'\left ( { 1 } \right )=9 ⇒f'\left ( { -1 } \right ).f'\left ( { 1 } \right ) < 0 $. Do đó phương trình $ f'\left ( { x } \right )=0 $ có nghiệm trong khoảng $ \left ( { -1;\,1 } \right ) $. $ f''\left ( { x } \right )=18x ^ { 2 } +4 > 0 $ với $ ∀x∈\left ( { -1;1 } \right ) $ nên $ f'\left ( { x } \right ) $ là hàm số đồng biến trên khoảng $ \left ( { -1;1 } \right ) ⇒ $ phương trình $ f'\left ( { x } \right )=0 $ có duy nhất nghiệm trên khoảng $ \left ( { -1;\,1 } \right ) $. Do đó $ f\left ( { x } \right )=0 $ có tối đa hai nghiệm trên khoảng $ \left ( { -1;\,1 } \right ) $. Vậy phương trình $ 4x ^ { 4 } +2x ^ { 2 } -x-3=0 $ có đúng hai nghiệm trên khoảng $ \left ( { -1;\,1 } \right ) $. Do đó $ m=2 $.