Tìm số nghiệm của phương trình $ \frac { 5 } { x-2 }+\frac { \sqrt[] { 3 } } { x-\sqrt[] { 5 } }+\frac { 2025 } { x-1 }=0 $.

Điều kiện $ x∈\mathbb{R}\setminus\left\{1;2;\sqrt[] { 5 }\right\} $ (*). Với điều kiện (*) phương trình $ \frac { 5 } { x-2 }+\frac { \sqrt[] { 3 } } { x-\sqrt[] { 5 } }+\frac { 2025 } { x-1 }=0 ⇔5\left ( { x-\sqrt[] { 5 } } \right )\left ( { x-1 } \right )+\sqrt[] { 3 }\left ( { x-2 } \right )\left ( { x-1 } \right )+2025\left ( { x-2 } \right )\left ( { x-\sqrt[] { 5 } } \right )=0 $ (1). Xét hàm số $ f\left ( { x } \right )=5\left ( { x-\sqrt[] { 5 } } \right )\left ( { x-1 } \right )+\sqrt[] { 3 }\left ( { x-2 } \right )\left ( { x-1 } \right )+2025\left ( { x-2 } \right )\left ( { x-\sqrt[] { 5 } } \right ) $. Dễ thấy hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ liên tục trên $ \mathbb{R} $ nên liên tục trên các đoạn $ \left[ 1;2 \right];\,\left[ 2;\sqrt[] { 5 } \right] $. Ta có $ f\left ( { 1 } \right )f\left ( { 2 } \right ) < 0 ⇒ ∃x_{ 1 } ∈\left ( { 1;2 } \right ) $ sao cho $ f\left ( { x_{ 1 } } \right )=0 $. Tương tự $ f\left ( { 2 } \right )f\left ( { \sqrt[] { 5 } } \right ) < 0 ⇒ ∃x_{ 2 } ∈\left ( { 2;\sqrt[] { 5 } } \right ) $ sao cho $ f\left ( { x_{ 2 } } \right )=0 $. Vì $ \left ( { 1;2 } \right )∩\left ( { 2;\sqrt[] { 5 } } \right )=∅ $ nên $ x_{ 1 } ≠x_{ 2 } ⇒ $ phương trình (1) có ít nhất 2 nghiệm thỏa mãn điều kiện (*). Mặt khác phương trình (1) là phương trình bậc 2 nên phương trình (1) có nhiều nhất hai nghiệm. Vậy số nghiệm của phương trình đã cho là 2.