Cho các số thực $ a $, $ b $, $ c $ thỏa mãn: $ \left \{ \begin{array}{l} a-b+c-1>0 \\ 4a+2b+c+8 < 0 \end{array} \right. $. Số nghiệm của phương trình $ x ^ { 3 } +ax ^ { 2 } +bx+c=0 $ là:

Xét hàm số $ f\left ( { x } \right )=x ^ { 3 } +ax ^ { 2 } +bx+c $, là hàm số đa thức nên liên tục trên $ \mathbb{R} $. Ta có $ \lim\limits_{ x→-∞ } f\left ( { x } \right )=-∞ $ và $ f\left ( { -1 } \right )=a-b+c-1>0 $ nên phương trình $ f\left ( { x } \right )=0 $ có ít nhất một nghiệm trong khoảng $ \left ( { -∞;-1 } \right ) $. $ f\left ( { -1 } \right ).f\left ( { 2 } \right )=\left ( { a-b+c-1 } \right )\left ( { 4a+2b+c+8 } \right ) < 0 $ nên phương trình $ f\left ( { x } \right )=0 $ có ít nhất một nghiệm trong khoảng $ \left ( { -1;2 } \right ) $. $ f\left ( { 2 } \right )=4a+2b+c+8 < 0 $ và $ \lim\limits_{ x→+∞ } f\left ( { x } \right )=+∞ $ nên phương trình $ f\left ( { x } \right )=0 $ có ít nhất một nghiệm trong khoảng $ \left ( { 2;+∞ } \right ) $. Mà phương trình là phương trình bậc $ 3 $ nên có tối đa $ 3 $ nghiệm. Vậy phương trình có $ 3 $ nghiệm.