Cho tứ diện $ ABCD $. Gọi $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ BC $ và $ AD $. Biết $ AB=CD=2\sqrt[] { 2 }a $ và $ MN=a\sqrt[] { 6 } $. Tính góc giữa $ AB $ và $ CD $.

Gọi $ P $ là trung điểm của $ AC $. Ta có: $ MP//BC⇒(AB,CD)=(MP,PN) ⇒MP=NP=\frac { 1 } { 2 }⋅2\sqrt[] { 2 }a=\sqrt[] { 2 }a $ Xét $ ΔMNP $ có: $ \begin{array}{ll} \cos \widehat { MPN } & =\frac { MP ^ { 2 } +NP ^ { 2 } -MN ^ { 2 } } { 2⋅MP⋅NP } \\ & =\frac { 2(\sqrt[] { 2 }a) ^ { 2 } -(a\sqrt[] { 6 }) ^ { 2 } } { 2⋅\sqrt[] { 2 }a⋅\sqrt[] { 2 }a }=\frac { -1 } { 2 } \\ \end{array} $ Suy ra $ \widehat { MPN }=120 ^ { ° } $ Vậy $ (MP,PN)=60 ^ { ° } $.