Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình chữ nhật với $ AB=4a $, $ AD=2a $. Hình chiếu của $ S $ lên mặt phẳng $ (ABCD) $ là trung điểm $ H $ của $ AB $ và $ \widehat { SCH }=45 ^ { ° } $.$ E $ là hình chiếu của $ H $trên cạnh $ SB $. Khoảng cách từ điểm $ E $đến mặt phẳng $ \left ( { SCD } \right ) $ có dạng $ d(E,(SCD))=\frac { ma\sqrt[] { n } } { p } $ (với $ m,n,p∈N ^ { * } $ và $ \frac { m } { p } $ là phân số tối giản). Khi đó $ m+n+p= $

Gọi $ K $ là trung điểm $ CD $ thì $ HK $ là đường trung bình của hình chữ nhật $ ABCD $ nên $ HK//BC//AD⇒HK⊥CD $. Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} CD⊥HK \\ CD⊥SH \\ \end{array} ⇒CD⊥(SHK) \end{array} \right. $. Kẻ đường cao $ HI $ của tam giác $ SHK $. Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} HI⊥SK \\ HI⊥CD({ \rm{ do } }CD⊥(SHK),HI⊂(SHK)) \\ \end{array} ⇒HI⊥(SCD) \end{array} \right. $. Tam giác $ SHK $ vuông tại $ H $ có đường cao $ HI $ nên $ \frac { 1 } { HI ^ { 2 } }=\frac { 1 } { SH ^ { 2 } }+\frac { 1 } { HK ^ { 2 } }⇒HI=\frac { SH⋅HK } { \sqrt[] { SH ^ { 2 } +HK ^ { 2 } } }=\frac { 2a\sqrt[] { 2 }⋅2a } { \sqrt[] { 8a ^ { 2 } +4a ^ { 2 } } }=\frac { 2a\sqrt[] { 6 } } { 3 }. $ Vậy $ d(H,(SCD))=HI=\frac { 2a\sqrt[] { 6 } } { 3 } $. Ta có $ BE∩\left ( { SCD } \right )=S $ $ ⇒\frac { d\left ( { E,\left ( { SCD } \right ) } \right ) } { d\left ( { B,\left ( { SCD } \right ) } \right ) }=\frac { ES } { BS }=\frac { SH ^ { 2 } } { SB ^ { 2 } }=\frac { SH ^ { 2 } } { SH ^ { 2 } +HB ^ { 2 } }=\frac { 2a ^ { 2 } } { 3a ^ { 2 } }=\frac { 2 } { 3 } $ Suy ra $ d\left ( { E,\left ( { SCD } \right ) } \right )=\frac { 2 } { 3 }d\left ( { B,\left ( { SCD } \right ) } \right )=\frac { 2 } { 3 }d\left ( { H,\left ( { SCD } \right ) } \right )=\frac { 2 } { 3 }\frac { 2a\sqrt[] { 6 } } { 3 }=\frac { 4a\sqrt[] { 6 } } { 9 } $. Vậy $ m+n+p=4+6+9=19 $.