Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có $AB = a, \,\, AA' = a\sqrt{3}$; $M$ là trung điểm của $BC$.

a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Sai Lời giải a) Đúng. Vì hình chiếu của điểm $A'$ trên đường thẳng $B'C'$ là điểm $M$ nên khoảng cách từ điểm $A'$ đến đường thẳng $B'C'$ bằng $A'M = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. b) Đúng. Vì hình chiếu của điểm $A'$ trên đường thẳng $AB$ là điểm $A$ nên khoảng cách từ điểm $A'$ đến đường thẳng $AB$ bằng $AA' = a\sqrt{3}$. c) Đúng. Gọi hình chiếu của điểm $A'$ trên đường thẳng $AC'$ là điểm $K$ nên khoảng cách từ điểm $A'$ đến đường thẳng $AC'$ bằng $A'K$. Ta có: $$ \frac{1}{A'K^{2}} = \frac{1}{A'A^{2}} + \frac{1}{A'C'^{2}} = \frac{1}{3a^{2}} + \frac{1}{a^{2}} = \frac{4}{3a^{2}} \Rightarrow A'K = \frac{a\sqrt{3}}{2} $$ d) Sai. Gọi hình chiếu của điểm $A'$ trên đường thẳng $AM$ là điểm $H$. Vì: $$ \left\{\begin{array}{l} B'C' \perp A'M \\ B'C' \perp A'A \end{array}\right. \Rightarrow B'C' \perp \Big(AMA'\Big) \Rightarrow \Big(AB'C'\Big) \perp \Big(AMA'\Big) \Rightarrow A'H \perp \Big(AB'C'\Big) $$ Khoảng cách từ điểm $A'$ đến mặt phẳng $\Big(AB'C'\Big)$ bằng $A'H$. Ta có: $$ \frac{1}{A'H^{2}} = \frac{1}{A'A^{2}} + \frac{1}{A'M^{2}} = \frac{1}{3a^{2}} + \frac{4}{3a^{2}} = \frac{5}{3a^{2}} \Rightarrow A'H = \frac{a\sqrt{15}}{5} $$