Trắc nghiệm · Câu 12
Cho hình chóp đều $ S.ABC $ có $ O $ là tâm đáy, $ SO=a\sqrt[] { 3 }, AB=a. $ Tính khoảng cách từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $ \left ( { SBC } \right ) $ theo $ a. $
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
A.
$ \frac { 3a\sqrt[] { 111 } } { 37 }. $
Lời giải
Gọi $ E $ là trung điểm của $ BC $ và kẻ $ OH⊥SE\,\left ( { 1 } \right ) $
Vì $ ΔABC $ đều nên $ AE⊥BC, $ mà $ SO⊥BC $ nên $ BC⊥\left ( { SAE } \right )⇒OH⊥BC\,\left ( { 2 } \right ). $
Từ $ \left ( { 1 } \right ),\left ( { 2 } \right )⇒ $ $ OH⊥\left ( { SBC } \right )⇒d\left ( { O;\left ( { SBC } \right ) } \right )=OH. $
Ta có $ ΔABC $ đều nên $ O $ là trọng tâm $ ⇒\frac { EA } { EO }=3⇒d\left ( { A;\left ( { SBC } \right ) } \right )=3d\left ( { O;\left ( { SBC } \right ) } \right )=3OH. $
Lại có $ OE=\frac { 1 } { 3 }AE=\frac { 1 } { 3 }.\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 }=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 6 }. $
Vậy $ d\left ( { A;\left ( { SBC } \right ) } \right )=3OH=3.\frac { SO.OE } { \sqrt[] { SO ^ { 2 } +OE ^ { 2 } } }=3.\frac { a\sqrt[] { 3 }.\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 6 } } { \sqrt[] { \left ( { a\sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { a\sqrt[] { 3 } } { 6 } } \right ) ^ { 2 } } }=\frac { 3a\sqrt[] { 111 } } { 37 }. $