Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA \perp \Big(ABCD\Big)$, $SA = a\sqrt{3}$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $SB$.

a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Sai Lời giải a) Đúng. Vì $DC \parallel \Big(SAB\Big)$ nên $d\Big(DC, \Big(SAB\Big)\Big) = d\Big(D, \Big(SAB\Big)\Big) = DA$ (do $DA \perp \Big(SAB\Big)$). b) Đúng. Vì $BC \parallel \Big(SAD\Big)$ nên $d\Big(BC, \Big(SAD\Big)\Big) = d\Big(B, \Big(SAD\Big)\Big) = AB = a$ (do $AB \perp \Big(SAD\Big)$). c) Đúng. Vì: $$ \left\{\begin{array}{l} BC \perp AB \\ BC \perp SA \\ AB \cap SA = \{A\} \end{array}\right. \Rightarrow BC \perp \Big(SAB\Big) $$ Vì: $$ \left\{\begin{array}{l} AH \perp SB \\ AH \perp BC \\ SB \cap BC = \{B\} \end{array}\right. \Rightarrow AH \perp \Big(SBC\Big) $$ Vì $AD \parallel \Big(SBC\Big)$ nên $d\Big(AD, \Big(SBC\Big)\Big) = d\Big(A, \Big(SBC\Big)\Big) = AH$ (do $AH \perp \Big(SBC\Big)$). d) Sai. Vì $AD \parallel \Big(SBC\Big)$ nên $d(AD, SC) = d\Big(AD, \Big(SBC\Big)\Big) = d\Big(A, \Big(SBC\Big)\Big) = AH$. Xét tam giác $SAB$ có: $$ \frac{1}{AH^{2}} = \frac{1}{AB^{2}} + \frac{1}{SA^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{3a^{2}} = \frac{4}{3a^{2}} \Rightarrow AH = \frac{a\sqrt{3}}{2} $$ Vậy khoảng cách từ $AD$ đến $SC$ bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.