Cho hình lập phương $ ABCD.A'B'C'D' $ có cạnh bằng $ a $ (tham khảo hình vẽ).

a) Đúng. Ta có $ BB'//DD' $ nên $ \left ( { C'D',BB' } \right )=\left ( { C'D',DD' } \right )=90°. $ b) Đúng. Ta có $ A'C'//AC $ nên $ \left ( { A'B',AC } \right )=\left ( { AB,AC } \right )=45°. $ c) Sai. Giả sử hình lập phương $ ABCD.A'B'C'D' $ có cạnh bằng $ a. $ Ta có hình chiếu của $ AC' $ lên mặt phẳng $ ABCD $ là $ AC $ nên: $ α=\left ( { AC',AC } \right )= \widehat { CAC' } $ Xét tam giác $ ACC' $ vuông tại $ C $, ta được: $ \tanα=\frac { CC' } { AC }=\frac { a } { a\sqrt[] { 2 } }=\frac { 1 } { \sqrt[] { 2 } }. $ d) Đúng. Ta có: $ B'D'\,\,{ \rm{ // } }\,BD\,\,⇒B'D'\,\,{ \rm{ // } }\left ( { C'BD } \right ) $. Suy ra: $ d\left ( { B'D'\,{ \rm{ ; } }\left ( { C'BD } \right ) } \right )=d\left ( { B'\,{ \rm{ ; } }\left ( { C'BD } \right ) } \right )=d\left ( { C\,{ \rm{ ; } }\left ( { C'BD } \right ) } \right ) $. Gọi $ O=AC∩BD $; Kẻ $ CH⊥C'O $, với $ H∈C'O $. Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} CH⊥C'O \\ CH⊥BD\,\,\left ( { do\,BD⊥AC,BD⊥CC'\,\,nên\,\,BD⊥\left ( { OCC' } \right ) } \right ) \end{array} \right. $$ ⇒CH⊥\left ( { C'BD } \right ) $. Suy ra: $ d\left ( { C\,{ \rm{ ; } }\left ( { C'BD } \right ) } \right )=CH=\frac { C'C.CO } { \sqrt[] { C'C ^ { 2 } +CO ^ { 2 } } }=\frac { a.\left ( { \frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } } \right ) } { \sqrt[] { a ^ { 2 } +\left ( { \frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } } }=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 3 } $. Vậy $ d\left ( { B'D'\,{ \rm{ ; } }\left ( { C'BD } \right ) } \right )=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 3 } $.