Cho hình chóp đều $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình vuông tâm $ O $ cạnh $ a $ và $ SO=a $. Biết rằng khoảng cách giữa đường thẳng $ AB $ và mặt phẳng $ \left ( { SCD } \right ) $ bằng $ m.a $, với $ m $ là hằng số. Tính giá trị của $ m $, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.

Vì $ AB⊂\left ( { SCD } \right ) $, $ AB\,\,{ \rm{ // } }\,\,CD $ và $ CD⊂\left ( { SCD } \right ) $ nên $ AB\,\,{ \rm{ // } }\,\,\left ( { SCD } \right ) $. Suy ra $ d\left ( { AB,\left ( { SCD } \right ) } \right )=d\left ( { A,\left ( { SCD } \right ) } \right )=2.d\left ( { O,(SCD) } \right ) $. Gọi $ K $ là hình chiếu vuông góc của $ O $ lên $ CD $, $ H $ là hình chiếu vuông góc của $ O $ lên $ SK $. Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} CD⊥SO \\ CD⊥OK \end{array} \right.⇒CD⊥\left ( { SOK } \right )⇒CD⊥OH $. Khi đó ta có $ \left \{ \begin{array}{l} OH⊥CD \\ OH⊥SK \end{array} \right.⇒OH⊥\left ( { SCD } \right )⇒d\left ( { O,\left ( { SCD } \right ) } \right )=OH $. Tam giác $ SOK $ vuông tại $ O $ và $ OH $ là đường cao nên $ \frac { 1 } { OH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { OK ^ { 2 } }+\frac { 1 } { OS ^ { 2 } }=\frac { 1 } { \left ( { \frac { a } { 2 } } \right ) ^ { 2 } }+\frac { 1 } { a ^ { 2 } }=\frac { 5 } { a ^ { 2 } }⇒OH ^ { 2 } =\frac { a ^ { 2 } } { 5 }⇒OH=\frac { a\sqrt[] { 5 } } { 5 } $. Suy ra $ d\left ( { AB\,,\left ( { SCD } \right ) } \right )=2OH=\frac { 2\sqrt[] { 5 } } { 5 }.a $. Vậy $ m=\frac { 2\sqrt[] { 5 } } { 5 }≈0,89 $.