Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình vuông cạnh $ a,SA=2a $, $ SA⊥\left ( { ABCD } \right ) $. Các khẳng định sau là đúng hay sai?

a) Đúng. Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} BC⊥BA \\ BC⊥SA \end{array} \right.⇒BC⊥\left ( { SAB } \right )⇒BC⊥SB⇒d\left ( { S,BC } \right )=SB $ Do $ ΔSAB $ vuông tại $ A $ nên $ SB=\sqrt[] { AB ^ { 2 } +SA ^ { 2 } }=a\sqrt[] { 5 }. $ b) Sai. Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} BD⊥AC \\ BD⊥SA \end{array} \right.⇒BD⊥\left ( { SAC } \right ) $ Gọi $ O $ là tâm của hình vuông $ ABCD $. Kẻ $ AH⊥SO $ Vì $ BD⊥\left ( { SAC } \right )⇒BD⊥AH $ Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} AH⊥SO \\ AH⊥BD \end{array} \right.⇒AH⊥\left ( { SBD } \right )⇒d\left ( { A,\left ( { SBD } \right ) } \right )=AH $ Vì $ O $ là tâm của hình vuông $ ABCD $ $ ⇒AO=\frac { AC } { 2 }=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } $ $ ⇒\frac { 1 } { AH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { SO ^ { 2 } }+\frac { 1 } { AO ^ { 2 } }=\frac { 1 } { 4a ^ { 2 } }+\frac { 4 } { 2a ^ { 2 } }=\frac { 9 } { 4a ^ { 2 } } $ $ ⇒AH=\frac { 2a } { 3 } $. Vậy $ d\left ( { A,(SBD) } \right )=AH=\frac { 2a } { 3 } $ c) Đúng. Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} BA⊥AD \\ BA⊥SA \end{array} \right.⇒BA⊥\left ( { SAD } \right )⇒d\left ( { B,\left ( { SAD } \right ) } \right )=BA $ $ BC//AD⇒BC//\left ( { SAD } \right )⇒d\left ( { BC,\left ( { SAD } \right ) } \right )=d\left ( { B,\left ( { SAD } \right ) } \right )=BA=a $ d) Đúng. Kẻ $ OK⊥SC $. Vì $ BD⊥\left ( { SAC } \right )⇒BD⊥OK $ $ ⇒d\left ( { SC;BD } \right )=OK $ Xét tam giác $ SAC $có: $ SC=\sqrt[] { SA ^ { 2 } +AC ^ { 2 } }=\sqrt[] { 4a ^ { 2 } +2a ^ { 2 } }=a\sqrt[] { 6 } $ $ \frac { OK } { SA }=\frac { OC } { SC }⇒OK=\frac { OC.SA } { SC }=\frac { \frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 }.2a } { a\sqrt[] { 6 } }=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 3 } $.