Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình chữ nhật với $ AB=2a $, $ AD=a $. Hình chiếu của $ S $ lên mặt phẳng $ (ABCD) $ là trung điểm $ H $ của $ AB $ và $ \widehat { SCH }=45 ^ { ° } $. Khi đó:

a) Đúng. Kẻ đường cao $ HE $ trong tam giác $ SBH $. (1) Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} BC⊥AB \\ BC⊥SH({ \rm{ do } }SH⊥(ABCD)) \\ \end{array} ⇒BC⊥(SAB) \end{array} \right. $. b) Đúng. Ta có $ BC⊥(SAB)⇒BC⊥HE $(2) Từ (1) và (2) suy ra $ HE⊥(SBC) $ hay $ d(H,(SBC))=HE $. Tam giác $ BCH $ vuông tại $ B $ có: $ \begin{array}{ll} CH & =\sqrt[] { BC ^ { 2 } +BH ^ { 2 } } \\ & =\sqrt[] { a ^ { 2 } +a ^ { 2 } }=a\sqrt[] { 2 }. \\ \end{array} $ Tam giác $ SCH $ vuông tại $ H $ có: $ \tan \widehat { SCH }=\frac { SH } { CH }⇒SH=a\sqrt[] { 2 }{ \rm{ . } } $ Tam giác $ SBH $ vuông tại $ H $ có đường cao $ HE $ nên $ \begin{array}{ll} \frac { 1 } { HE ^ { 2 } } & =\frac { 1 } { SH ^ { 2 } }+\frac { 1 } { BH ^ { 2 } } \\ ⇒HE & =\frac { SH⋅BH } { \sqrt[] { SH ^ { 2 } +BH ^ { 2 } } } \\ & =\frac { a\sqrt[] { 2 }⋅a } { \sqrt[] { 2a ^ { 2 } +a ^ { 2 } } }=\frac { a\sqrt[] { 6 } } { 3 }. \\ \end{array} $ Vậy $ d(H,(SBC))=HE=\frac { a\sqrt[] { 6 } } { 3 } $. c) Đúng. Gọi $ K $ là trung điểm $ CD $ thì $ HK $ là đường trung bình của hình chữ nhật $ ABCD $ nên $ HK//BC//AD⇒HK⊥CD $. Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} CD⊥HK \\ CD⊥SH \\ \end{array} ⇒CD⊥(SHK) \end{array} \right. $. d) Sai. Kẻ đường cao $ HI $ của tam giác $ SHK $. Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} HI⊥SK \\ HI⊥CD({ \rm{ do } }CD⊥(SHK),HI⊂(SHK)) \\ \end{array} ⇒HI⊥(SCD) \end{array} \right. $. Tam giác $ SHK $ vuông tại $ H $ có đường cao $ HI $ nên $ \frac { 1 } { HI ^ { 2 } }=\frac { 1 } { SH ^ { 2 } }+\frac { 1 } { HK ^ { 2 } }⇒HI=\frac { SH⋅HK } { \sqrt[] { SH ^ { 2 } +HK ^ { 2 } } }=\frac { a\sqrt[] { 2 }⋅a } { \sqrt[] { 2a ^ { 2 } +a ^ { 2 } } }=\frac { a\sqrt[] { 6 } } { 3 }. $ Vậy $ d(H,(SCD))=HI=\frac { a\sqrt[] { 6 } } { 3 } $.