Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình thoi cạnh $ 1 $. Tam giác $ ABC $ đều, hình chiếu vuông góc $ H $ của đỉnh $ S $ trên mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $ trùng với trọng tâm của tam giác $ ABC $. Đường thẳng $ SD $ hợp với mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $ góc $ 30 ^ { 0 } $. Tính khoảng cách $ d $ từ $ B $ đến mặt phẳng $ \left ( { SCD } \right ) $. (làm tròn đến chữ số hàng phần trăm)

Xác định $ 30 ^ { 0 } = \widehat { SD,\left ( { ABCD } \right ) }= \widehat { SD,HD }= \widehat { SDH } $ và $ SH=HD.\tan \widehat { SDH }=\frac { 2 } { 3 } $. Do $ BH∩\left ( { SCD } \right )=D⇒ d\left[ B,\left ( { SCD } \right ) \right]=\frac { BD } { HD }.d\left[ H,\left ( { SCD } \right ) \right]=\frac { 3 } { 2 }.d\left[ H,\left ( { SCD } \right ) \right] $. Ta có $ HC⊥AB⇒HC⊥CD $. Kẻ $ HK⊥SC $. Khi đó $ d\left[ H,\left ( { SCD } \right ) \right]=HK $. Tam giác vuông $ SHC $, có $ HK=\frac { SH.HC } { \sqrt[] { SH ^ { 2 } +HC ^ { 2 } } }=\frac { 2\sqrt[] { 21 } } { 21 } $. Vậy $ d\left[ B,\left ( { SCD } \right ) \right]=\frac { 3 } { 2 }HK=\frac { \sqrt[] { 21 } } { 7 }≈0,65 $.