Bạn Nam muốn đặt mật khẩu cho khóa vali là một dãy số gồm các số được chọn ra từ tập $A = \{1; 2; 3; 4; 5\}$. Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau:

Gọi mật khẩu cần tìm có dạng $\overline{abcd}$ với $a, b, c, d \in A$. a) ĐÚNG: Vì mật khẩu gồm 4 chữ số không nhất thiết phải khác nhau nên: - Có 5 cách chọn chữ số $a$. - Có 5 cách chọn chữ số $b$. - Có 5 cách chọn chữ số $c$. - Có 5 cách chọn chữ số $d$. Theo quy tắc nhân, số cách đặt mật khẩu là: $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$ cách. b) SAI: Mật khẩu là số tự nhiên lẻ có 4 chữ số khác nhau nên: - Chữ số hàng đơn vị $d$ phải là số lẻ, do đó $d \in \{1; 3; 5\} \Rightarrow$ có 3 cách chọn $d$. - Ba chữ số $a, b, c$ còn lại được chọn từ 4 chữ số còn lại của tập $A$ và xếp thứ tự $\Rightarrow$ có $A_4^3 = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$ cách chọn. Theo quy tắc nhân, số cách đặt mật khẩu là: $3 \cdot 24 = 72$ cách. c) ĐÚNG: Mật khẩu là số tự nhiên có 4 chữ số (các chữ số có thể giống nhau) và chia hết cho 5 nên: - Chữ số tận cùng phải là $5$, do đó $d = 5 \Rightarrow$ có 1 cách chọn $d$. - Các chữ số $a, b, c$ mỗi vị trí đều có 5 cách chọn từ tập $A$. Theo quy tắc nhân, số cách đặt mật khẩu là: $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 1 = 125$ cách. d) SAI: Mật khẩu là số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3. Tổng các phần tử của tập $A$ là $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$. Để chọn ra 4 chữ số khác nhau từ tập $A$ có tổng chia hết cho 3, ta phải bỏ đi 1 chữ số cũng chia hết cho 3. Trong tập $A$, chỉ có số 3 chia hết cho 3. Do đó, bộ 4 chữ số duy nhất thỏa mãn là $\{1; 2; 4; 5\}$ (có tổng bằng $12 \,\vdots\, 3$). Số các mật khẩu tạo thành từ việc hoán vị 4 chữ số này là: $4! = 24$ cách.