Từ các chữ số $ 0;1;3;4;6;7 $ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số $ 1 $?

Gọi số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau là $ \overline{abcd} $ $ \left ( { a≠0,\,a,b,c,d∈\left\{0;1;3;4;6;7\right\} } \right ) $. Do số cần lập là số lẻ và phải có mặt chữ số $ 1 $ nên ta có các trường hợp. TH1: $ a=1 $ khi đó số cần tìm có dạng $ \overline{1bcd} $. $ d $ có $ 2 $ cách chọn $ b $ có $ 4 $ cách chọn $ c $ có $ 3 $ cách chọn Theo quy tắc nhân có $ 1.2.4.3=24 $ (số). TH2: $ b=1 $ khi đó số có dạng $ \overline{a1cd} $. $ d $ có $ 2 $ cách chọn $ a $ có $ 3 $ cách chọn $ c $ có $ 3 $ cách chọn Theo quy tắc nhân có $ 1.2.3.3=18 $ (số). TH3: $ c=1 $ khi đó số có dạng $ \overline{ab1d} $. $ d $ có $ 2 $ cách chọn $ a $ có $ 3 $ cách chọn $ b $ có $ 3 $ cách chọn Theo quy tắc nhân có $ 1.2.3.3=18 $ (số). TH4: $ d=1 $ khi đó số có dạng $ \overline{abc1} $. $ a $ có $ 4 $ cách chọn $ b $ có $ 4 $ cách chọn $ c $ có $ 3 $ cách chọn Theo quy tắc nhân có $ 1.4.4.3=48 $ (số). Vậy có tất cả $ 24+18+18+48=108 $ số thỏa mãn yêu cầu.