Một hộp quà có dạng hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ với cạnh $a = 10\text{ cm}$ như hình vẽ. Bạn cần buộc một dải ruy băng từ đỉnh $C'$ tới trung điểm $M$ của $DD'$ và một dải khác từ đỉnh $B'$ đến đỉnh $C$. Tính cô-sin của góc giữa hai đường thẳng $B'C$ và $C'M$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Lời giải Giả sử hình lập phương có cạnh bằng $a$. Ta có: $$ B'C = \sqrt{B'C'^{2} + C'C^{2}} = a\sqrt{2}, \quad C'M = \sqrt{C'D'^{2} + D'M^{2}} = a\frac{\sqrt{5}}{2} $$ $$ \overrightarrow{B'C} \cdot \overrightarrow{C'M} = \overrightarrow{A'D} \cdot \overrightarrow{C'M} $$ $$ = \Big(\overrightarrow{D'D} - \overrightarrow{D'A'}\Big) \cdot \Big(\overrightarrow{D'M} - \overrightarrow{D'C'}\Big) $$ $$ = \Big(\overrightarrow{D'D} - \overrightarrow{D'A'}\Big) \cdot \Big(\frac{1}{2}\overrightarrow{D'D} - \overrightarrow{D'C'}\Big) $$ $$ = \frac{1}{2}\Big(\overrightarrow{D'D}\Big)^{2} - \overrightarrow{D'D} \cdot \overrightarrow{D'C'} - \frac{1}{2}\overrightarrow{D'A'} \cdot \overrightarrow{D'D} + \overrightarrow{D'A'} \cdot \overrightarrow{D'C'} = \frac{a^{2}}{2} $$ Vậy: $$ \cos(B'C, C'M) = \frac{\Big|\overrightarrow{B'C} \cdot \overrightarrow{C'M}\Big|}{\Big|\overrightarrow{B'C}\Big| \cdot \Big|\overrightarrow{C'M}\Big|} = \frac{\frac{a^{2}}{2}}{a\sqrt{2} \cdot \frac{a\sqrt{5}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \approx 0,32 $$