Đúng/Sai · Câu 8
Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} \sqrt{x-1} & \text{khi } x > 2 \\ c & \text{khi } x = 2 \\ 1 - x^2 & \text{khi } x < 2 \end{cases}$
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Đúng
- b. Sai
- c. Đúng
- d. Đúng
Lời giải
a) Đúng. Vì $0 < 2$ nên ta sử dụng công thức ở nhánh thứ ba: $f(0) = 1 - 0^2 = 1$.
b) Sai. Ta xét tính xác định của hàm số trên từng nhánh:
- Với $x > 2$, biểu thức $\sqrt{x-1}$ xác định khi $x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1$, điều này luôn đúng với mọi $x > 2$.
- Với $x = 2$, hàm số nhận giá trị bằng $c$.
- Với $x < 2$, biểu thức $1 - x^2$ luôn xác định.
Như vậy, hàm số xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$, tức là tập xác định $D = \mathbb{R}$.
c) Đúng. Với $x = 2$, ta có $f(2) = c$. Với $x = 1 < 2$, ta có $f(1) = 1 - 1^2 = 0$.
Từ giả thiết: $f(2) + f(1) = 1 \Leftrightarrow c + 0 = 1 \Leftrightarrow c = 1$.
d) Đúng. Đặt $t = x + 1 \Leftrightarrow x = t - 1$.
Khi $t < 3 \Leftrightarrow x + 1 < 3 \Leftrightarrow x < 2$.
Với $x < 2$, hàm số có công thức $f(x) = 1 - x^2$.
Thay $x = t - 1$ vào công thức trên, ta được:
$f(t) = 1 - (t - 1)^2 = 1 - (t^2 - 2t + 1) = -t^2 + 2t$.